दो परवलय जिनका उभयनिष्ठ शीर्ष मूल बिंदु पर है | vedclass

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Question

(C) चूंकि मूल बिंदु उभयनिष्ठ शीर्ष है,इसलिए दो परवलयों के समीकरण $y^2 = 4ax$ और $x^2 = 4by$ मानिए।नाभिलंब की लंबाई $3$ दी गई है,इसलिए $4a = 3$ और $4b

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$4(x+y)+3 = 0$

Vedclass · Answer

(C) चूंकि मूल बिंदु उभयनिष्ठ शीर्ष है,इसलिए दो परवलयों के समीकरण $y^2 = 4ax$ और $x^2 = 4by$ मानिए।नाभिलंब की लंबाई $3$ दी गई है,इसलिए $4a = 3$ और $4b = 3$,अर्थात $a = b = \frac{3}{4}$।परवलयों के समीकरण $y^2 = 3x$ और $x^2 = 3y$ हैं।माना उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा $y = mx + c$ है।$y^2 = 3x$ के लिए,$y = mx + c$ प्रतिस्थापित करने पर $(mx + c)^2 = 3x$,या $m^2x^2 + (2mc - 3)x + c^2 = 0$ प्राप्त होता है।स्पर्श रेखा होने के कारण विविक्तकर शून्य होगा: $(2mc - 3)^2 - 4m^2c^2 = 0$,जो सरल होकर $9 - 12mc = 0$ देता है,अर्थात $c = \frac{3}{4m}$।$x^2 = 3y$ के लिए,$y = mx + c$ प्रतिस्थापित करने पर $x^2 = 3(mx + c)$,या $x^2 - 3mx - 3c = 0$ प्राप्त होता है।विविक्तकर को शून्य रखने पर: $(-3m)^2 - 4(1)(-3c) = 0$,जो $9m^2 + 12c = 0$ देता है,इसलिए $c = -\frac{3m^2}{4}$।$c$ के दोनों मानों की तुलना करने पर: $\frac{3}{4m} = -\frac{3m^2}{4}$ $\Rightarrow m^3 = -1$ $\Rightarrow m = -1$।अतः $c = \frac{3}{4(-1)} = -\frac{3}{4}$।स्पर्श रेखा का समीकरण $y = -x - \frac{3}{4}$ है,जिसे सरल करने पर $4(x + y) + 3 = 0$ प्राप्त होता है।

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