$2$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળની બે સમાંતર જીવાઓ વચ્ચેનું અંતર $\sqrt{3}+1$ છે. જો જીવાઓ કેન્દ્ર આગળ $\frac{\pi}{k}$ અને $\frac{2 \pi}{k}$ માપના ખૂણા આંતરે,જ્યાં $k>0$,તો $[k]$ ની કિંમત શોધો [નોંધ: $[k]$ એ $k$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો સૌથી મોટો પૂર્ણાંક દર્શાવે છે].

ધારો કે $P_1, P_2, P_3, P_4, P_5$ એ $O$ કેન્દ્રિત $1$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળના પરિઘ પરના પાંચ સમાન અંતરે આવેલા બિંદુઓ છે. ધારો કે $R$ એ વર્તુળના સમતલમાં આવેલા એવા બિંદુઓનો સમૂહ છે જે $P_1, P_2, P_3, P_4, P_5$ પૈકીના કોઈપણ બિંદુ કરતા $O$ ની વધુ નજીક છે. તો,$R$ એ એક

$x+y=4$,$x-y=-2$ અને $y=2$ ત્રણેય રેખાઓને સ્પર્શતા વર્તુળોની સંખ્યા કેટલી છે?

આકૃતિમાં,$ABCD$ એક એકમ ચોરસ છે. $CD$ રેખાના વિસ્તરણ પર કેન્દ્ર $O$ લઈને એક વર્તુળ દોરવામાં આવ્યું છે જે $A$ માંથી પસાર થાય છે. જો વિકર્ણ $AC$ એ વર્તુળને સ્પર્શક હોય,તો છાયાંકિત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

નીચેના વિધાનો ધ્યાનમાં લો:
$I$. વર્તુળ $x^2+y^2-2x-4y+1=0$ દ્વારા $Y$-અક્ષ પર બનતો અંતઃખંડ $2\sqrt{3}$ છે.
$II$. વર્તુળ $x^2+y^2-4x-2y+6=0$ દ્વારા $X$-અક્ષ પર બનતો અંતઃખંડ $2\sqrt{2}$ છે.
$III$. સુરેખા $y=2x+1$ એ વર્તુળ $x^2+y^2=9$ ને બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે છે.
તો નીચેનામાંથી કયો વિકલ્પ સાચો છે?
$(a)$ $I$: સાચું,$II$: સાચું,$III$: સાચું
$(b)$ $I$: સાચું,$II$: સાચું,$III$: ખોટું
$(c)$ $I$: સાચું,$II$: ખોટું,$III$: સાચું
$(d)$ $I$: ખોટું,$II$: ખોટું,$III$: સાચું

વર્તુળ $x-2=5 \cos \theta, y+1=5 \sin \theta$ માટે જ્યાં $\theta$ એ પ્રાચલ છે,રેખા $x=1+\frac{r}{2}, y=-2+\frac{\sqrt{3}}{2} r$ જ્યાં $r$ એ પ્રાચલ છે,તે શું છે?