समान गोलकों और लंबाई वाले दो पेंडुलम को एक सामान्य आधार से इस प्रकार लटकाया गया है कि स्थिर स्थिति में दोनों गोलक संपर्क में हैं। $5^o$ के विस्थापन के बाद,गोलक $A$ को $t = 0$ पर स्थिर स्थिति से छोड़ा जाता है। इसके बाद,यह दूसरे गोलक $B$ के साथ प्रत्यास्थ रूप से टकराता है। $0 \leqslant t \leqslant T$ (जहाँ $T$ किसी भी पेंडुलम का आवर्तकाल है) के लिए समय के साथ पेंडुलम $A$ की ऊर्जा में परिवर्तन को दर्शाने वाला ग्राफ पहचानें।

दो समान गेंदें $A$ और $B$,प्रत्येक का द्रव्यमान $0.1 \ kg$ है,दो समान द्रव्यमान रहित स्प्रिंग से जुड़ी हैं। स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली को चित्र में दिखाए अनुसार एक वृत्त के रूप में मुड़े हुए कठोर चिकने पाइप के अंदर चलने के लिए विवश किया गया है। पाइप एक क्षैतिज तल में स्थिर है। गेंदों के केंद्र $0.06 \ m$ त्रिज्या के वृत्त में चल सकते हैं। प्रत्येक स्प्रिंग की प्राकृतिक लंबाई $0.06\pi \ m$ और बल नियतांक $0.1 \ N/m$ है। प्रारंभ में,दोनों गेंदों को वृत्त के व्यास $PQ$ के सापेक्ष $\theta = \pi/6$ रेडियन के कोण से विस्थापित किया जाता है और विरामावस्था से छोड़ा जाता है। गेंद $B$ के दोलन की आवृत्ति है:

$r$ त्रिज्या और $m$ द्रव्यमान की एक डिस्क का केंद्र $R > r$ त्रिज्या वाले एक रिंग के अंदर $k$ स्प्रिंग नियतांक वाली स्प्रिंग से जुड़ा है,जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। स्प्रिंग का दूसरा सिरा रिंग की परिधि पर जुड़ा है। रिंग और डिस्क दोनों एक ही ऊर्ध्वाधर तल में हैं। डिस्क केवल रिंग की आंतरिक परिधि के साथ बिना फिसले लुढ़क सकती है। स्प्रिंग केवल हुक के नियम का पालन करते हुए रिंग की परिधि के साथ खिंच या दब सकती है। संतुलन में,डिस्क रिंग के निचले हिस्से पर है। डिस्क के छोटे विस्थापन को मानते हुए,डिस्क के द्रव्यमान केंद्र के दोलन का आवर्तकाल $T = \frac{2 \pi}{\omega}$ के रूप में लिखा जाता है। $\omega$ के लिए सही व्यंजक है ($g$ गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण है):

$List-I$ को $List-II$ के साथ सुमेलित करें:
| | $List-I$ ($x-y$ ग्राफ) | | $List-II$ (स्थितियाँ) |
|---|---|---|---|
| $(a)$ | अवमंदित दोलन का ग्राफ | $(i)$ | कुल यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित है |
| $(b)$ | रैखिक ग्राफ $y = -kx$ | $(ii)$ | लोलक नगण्य वायु घर्षण के तहत दोलन कर रहा है |
| $(c)$ | सरल आवर्त गति का ग्राफ | $(iii)$ | स्प्रिंग का प्रत्यानयन बल |
| $(d)$ | ऊर्जा संरक्षण ग्राफ (गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा वक्र) | $(iv)$ | लोलक वायु घर्षण के साथ दोलन कर रहा है |
नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें:

दो दोलन प्रणालियाँ; एक सरल लोलक और एक ऊर्ध्वाधर स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली,पृथ्वी की सतह पर समान आवर्तकाल रखती हैं। यदि दोनों को चंद्रमा पर ले जाया जाए,तो-

एक क्षैतिज प्लेटफॉर्म जिस पर एक वस्तु रखी है,ऊर्ध्वाधर दिशा में $S.H.M.$ कर रहा है। दोलन का आयाम $3.92 \times 10^{-3} \, m$ है। इन दोलनों का न्यूनतम आवर्तकाल क्या होना चाहिए,ताकि वस्तु प्लेटफॉर्म से अलग न हो ($, s$ में)?