दो आयताकार अक्ष प्रणालियों का मूल बिंदु समान है। यदि एक समतल उन्हें मूल बिंदु से क्रमशः $a, b, c$ और $a^{\prime}, b^{\prime}, c^{\prime}$ की दूरी पर काटता है,तो सिद्ध कीजिए कि $\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}=\frac{1}{a^{\prime 2}}+\frac{1}{b^{\prime 2}}+\frac{1}{c^{\prime 2}}$।

(N/A) मान लीजिए कि दो आयताकार अक्ष प्रणालियाँ $S_1$ और $S_2$ हैं जिनका मूल बिंदु $O$ समान है।
प्रथम प्रणाली $S_1$ में समतल का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ है।
दूसरी प्रणाली $S_2$ में समतल का समीकरण $\frac{x}{a^{\prime}} + \frac{y}{b^{\prime}} + \frac{z}{c^{\prime}} = 1$ है।
मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से समतल $\frac{x}{A} + \frac{y}{B} + \frac{z}{C} = 1$ की लंबवत दूरी $p$ का मान $p = \frac{|-1|}{\sqrt{\frac{1}{A^2} + \frac{1}{B^2} + \frac{1}{C^2}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{A^2} + \frac{1}{B^2} + \frac{1}{C^2}}}$ होता है।
चूंकि समतल समान है,इसलिए मूल बिंदु से लंबवत दूरी $p$ दोनों प्रणालियों के लिए समान होनी चाहिए।
अतः,$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{a^{\prime 2}} + \frac{1}{b^{\prime 2}} + \frac{1}{c^{\prime 2}}}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $\frac{1}{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}} = \frac{1}{\frac{1}{a^{\prime 2}} + \frac{1}{b^{\prime 2}} + \frac{1}{c^{\prime 2}}}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का व्युत्क्रम लेने पर,हमें $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} = \frac{1}{a^{\prime 2}} + \frac{1}{b^{\prime 2}} + \frac{1}{c^{\prime 2}}$ प्राप्त होता है।
इति सिद्धम्।