યુક્લિડના ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને દર્શાવો કે કોઈપણ ધન પૂર્ણાંકનો વર્ગ કોઈ પૂર્ણાંક $m$ માટે $3m$ અથવા $3m+1$ સ્વરૂપમાં હોય છે.

(N/A) ધારો કે $a$ કોઈ પણ ધન પૂર્ણાંક છે અને $b=3$ છે.
યુક્લિડના ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેય મુજબ,$a = 3q + r$,જ્યાં $q \geq 0$ અને $r \in \{0, 1, 2\}$ છે.
કિસ્સો $1$: જો $r=0$ હોય,તો $a = 3q$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$a^2 = (3q)^2 = 9q^2 = 3(3q^2) = 3m$,જ્યાં $m = 3q^2$ છે.
કિસ્સો $2$: જો $r=1$ હોય,તો $a = 3q+1$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$a^2 = (3q+1)^2 = 9q^2 + 6q + 1 = 3(3q^2 + 2q) + 1 = 3m + 1$,જ્યાં $m = 3q^2 + 2q$ છે.
કિસ્સો $3$: જો $r=2$ હોય,તો $a = 3q+2$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$a^2 = (3q+2)^2 = 9q^2 + 12q + 4 = 9q^2 + 12q + 3 + 1 = 3(3q^2 + 4q + 1) + 1 = 3m + 1$,જ્યાં $m = 3q^2 + 4q + 1$ છે.
આમ,કોઈપણ ધન પૂર્ણાંકનો વર્ગ હંમેશા $3m$ અથવા $3m+1$ સ્વરૂપમાં હોય છે.