ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો કે તમામ ધન પૂર્ણાંકો $n$ માટે $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$ થાય છે.

(N/A) સાબિત કરવાનું છે: $P(n): \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$ તમામ ધન પૂર્ણાંકો $n$ માટે.
પગલું $1$: $n=1$ માટે,
$P(1): \frac{d}{dx}(x) = 1 = 1 \cdot x^{1-1}$.
આમ,$P(1)$ સત્ય છે.
પગલું $2$: ધારો કે કોઈ ધન પૂર્ણાંક $k$ માટે $P(k)$ સત્ય છે.
એટલે કે,$P(k): \frac{d}{dx}(x^k) = kx^{k-1}$.
પગલું $3$: આપણે સાબિત કરવું છે કે $P(k+1)$ પણ સત્ય છે.
વિચારો $\frac{d}{dx}(x^{k+1}) = \frac{d}{dx}(x \cdot x^k)$.
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{d}{dx}(uv) = u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx}$.
$= x^k \cdot \frac{d}{dx}(x) + x \cdot \frac{d}{dx}(x^k)$
$= x^k \cdot 1 + x \cdot (kx^{k-1})$
$= x^k + kx^k$
$= (k+1)x^k$
$= (k+1)x^{(k+1)-1}$.
આમ,જ્યારે $P(k)$ સત્ય હોય ત્યારે $P(k+1)$ પણ સત્ય છે.
તેથી,ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,વિધાન $P(n)$ દરેક ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે સત્ય છે.