फलन $f(x)=x^{2}+2x-8, x \in[-4,2]$ के लिए रोले के प्रमेय को सत्यापित कीजिए।

(N/A) दिया गया फलन $f(x)=x^{2}+2x-8$ एक बहुपद फलन है,जो संवृत अंतराल $[-4,2]$ पर सतत है और विवृत अंतराल $(-4,2)$ पर अवकलनीय है।
सबसे पहले,हम अंत बिंदुओं पर फलन का मान ज्ञात करते हैं:
$f(-4) = (-4)^{2} + 2(-4) - 8 = 16 - 8 - 8 = 0$
$f(2) = (2)^{2} + 2(2) - 8 = 4 + 4 - 8 = 0$
चूंकि $f(-4) = f(2) = 0$,इसलिए रोले के प्रमेय की शर्तें पूरी होती हैं।
रोले के प्रमेय के अनुसार,अंतराल $(-4,2)$ में कम से कम एक बिंदु $c$ ऐसा विद्यमान है कि $f'(c) = 0$ हो।
हम $f(x)$ का अवकलज ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^{2} + 2x - 8) = 2x + 2$
$f'(c) = 0$ रखने पर:
$2c + 2 = 0$
$2c = -2$
$c = -1$
चूंकि $c = -1$ अंतराल $(-4,2)$ में स्थित है,इसलिए दिए गए फलन के लिए रोले का प्रमेय सत्यापित होता है।