यदि a, b, c वास्तविक संख्याएँ इस प्रकार हैं क | vedclass

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Question

(A) माना $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx$ है। चूंकि $f(x)$ एक बहुपद है,यह $\mathbb{R}$ पर संतत और अवकलनीय है। हम देखते हैं कि $f(0) = a(0)^3 + b(0)^2 + c(0)

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$[0, 1]$ में कम से कम एक मूल है

Vedclass · Answer

(A) माना $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx$ है। चूंकि $f(x)$ एक बहुपद है,यह $\mathbb{R}$ पर संतत और अवकलनीय है। हम देखते हैं कि $f(0) = a(0)^3 + b(0)^2 + c(0) = 0$ है। दिया गया है कि $a + b + c = 0$,इसलिए $f(1) = a(1)^3 + b(1)^2 + c(1) = a + b + c = 0$ है। चूंकि $f(0) = f(1) = 0$ है,रोल के प्रमेय (Rolle's Theorem) के अनुसार,कम से कम एक $\alpha \in (0, 1)$ ऐसा विद्यमान है कि $f'(\alpha) = 0$ हो। अवकलन करने पर,$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$ प्राप्त होता है। अतः,किसी $\alpha \in (0, 1)$ के लिए $f'(\alpha) = 3a\alpha^2 + 2b\alpha + c = 0$ है। इसलिए,द्विघात समीकरण $3ax^2 + 2bx + c = 0$ का $[0, 1]$ में कम से कम एक मूल है।

यदि $a, b, c$ वास्तविक संख्याएँ इस प्रकार हैं कि $a + b + c = 0$,तो द्विघात समीकरण $3ax^2 + 2bx + c = 0$ का

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