माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) में,$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$। यदि $a = 0$,$b = \frac{1}{2}$ और $f(x) = x(x - 1)(x - 2)$ है,तो $c$ का मान ज्ञात कीजिए:

मान लीजिए $f:(a, b) \rightarrow R$ एक दो बार अवकलनीय फलन है,इस प्रकार कि $f(x) = \int_{a}^{x} g(t) \, dt$ एक अवकलनीय फलन $g(x)$ के लिए है। यदि $f(x) = 0$ के $(a, b)$ में ठीक पाँच भिन्न मूल हैं,तो $g(x) g'(x) = 0$ के कम से कम:

निम्नलिखित कथनों पर विचार करें:
कथन $I$: यदि $a_0+\frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{3}+\ldots+\frac{a_n}{n+1}=0$, जहाँ $a_0, a_1, \ldots, a_n$ वास्तविक संख्याएँ हैं, तो बहुपद $P(x) = a_0+a_1 x+a_2 x^2+\ldots+a_n x^n$ का अंतराल $(0,1)$ में एक शून्य है।
कथन $II$: यदि $f:[a, b] \rightarrow R$, $[a, b]$ पर सतत है और $f$, $(a, b)$ में अवकलनीय है, जहाँ $a>0$ और यदि $\frac{f(a)}{a}=\frac{f(b)}{b}$ है, तो एक ऐसा $c \in(a, b)$ मौजूद है कि $c f^{\prime}(c)=f(c)$ हो।
निम्नलिखित में से कौन सा विकल्प सही है?

एक द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ पर विचार करें,जहाँ $2a + 3b + 6c = 0$ और मान लीजिए $g(x) = a\frac{x^3}{3} + b\frac{x^2}{2} + cx.$
कथन $1:$ द्विघात समीकरण का अंतराल $(0, 1)$ में कम से कम एक मूल है।
कथन $2:$ अंतराल $[0, 1]$ पर फलन $g(x)$ के लिए रोले का प्रमेय लागू होता है।

यदि फलन $f(x) = x + \frac{1}{x}$ के लिए अंतराल $x \in [1, 3]$ पर $L.M.V.T.$ लागू होता है,तो $c$ का मान क्या है?

मान लीजिए कि फलन $f:[-7,0] \rightarrow R$,$[-7,0]$ पर संतत है और $(-7,0)$ पर अवकलनीय है। यदि $f(-7)=-3$ और सभी $x \in (-7,0)$ के लिए $f'(x) \leq 2$ है,तो ऐसे सभी फलनों $f$ के लिए,$f(-1)+f(0)$ किस अंतराल में स्थित है?