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Question

(A) विकल्प $A$ के लिए: माना $\Delta_1 = \left| \begin{array}{ccc} 1 & bc & bc(b+c) \ 1 & ca & ca(c+a) \ 1 & ab & ab(a+b) \end{array} ight|$ है। $C

Vedclass · Accepted Answer

$\left| \begin{array}{ccc} 1 & bc & bc(b+c) \ 1 & ca & ca(c+a) \ 1 & ab & ab(a+b) \end{array} ight|$

Vedclass · Answer

(A) विकल्प $A$ के लिए: माना $\Delta_1 = \left| \begin{array}{ccc} 1 & bc & bc(b+c) \ 1 & ca & ca(c+a) \ 1 & ab & ab(a+b) \end{array} ight|$ है। $C_1$ को $abc$ से गुणा करने पर,$\Delta_1 = \frac{1}{abc} \left| \begin{array}{ccc} a & abc & abc(b+c) \ b & abc & abc(c+a) \ c & abc & abc(a+b) \end{array} ight|$ प्राप्त होता है। $C_2$ और $C_3$ से $abc$ कॉमन लेने पर,$\Delta_1 = \frac{(abc)^2}{abc} \left| \begin{array}{ccc} a & 1 & b+c \ b & 1 & c+a \ c & 1 & a+b \end{array} ight| = abc \left| \begin{array}{ccc} a & 1 & a+b+c \ b & 1 & a+b+c \ c & 1 & a+b+c \end{array} ight|$ होता है। चूँकि $C_1+C_2$ स्तंभ $C_3$ के समानुपाती है,इसलिए $\Delta_1 = 0$ है।विकल्प $B$ के लिए: माना $\Delta_2 = \left| \begin{array}{ccc} 1 & ab & \frac{a+b}{ab} \ 1 & bc & \frac{b+c}{bc} \ 1 & ca & \frac{c+a}{ca} \end{array} ight|$ है। यह सारणिक सभी $a, b, c$ के लिए शून्य नहीं होता है।विकल्प $C$ के लिए: माना $\Delta_3 = \left| \begin{array}{ccc} 0 & a-b & a-c \ b-a & 0 & b-c \ c-a & c-b & 0 \end{array} ight|$ है। यह एक विषम-सममित (skew-symmetric) सारणिक है जिसकी कोटि $3 	imes 3$ (विषम) है। विषम कोटि के विषम-सममित सारणिक का मान हमेशा $0$ होता है। अतः,$\Delta_3 = 0$ है।

निम्नलिखित में से कौन सा/से सारणिक शून्य हो जाता है/जाते हैं?

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