નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધેય ટ્રાન્સસેન્ડેન્ટલ (transcendental) છે?

ધારો કે $f: R \rightarrow R$ અને $g: R \rightarrow R$ એ $f(x) = \frac{x}{1+x^2}$ અને $g(x) = \frac{x^2}{1+x^2}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેયો છે. તો, નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન સાચું/સાચા છે:

સાબિત કરો કે મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય $f: R \rightarrow R$,જે $f(x)=[x]$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે,તે એક-એક (one-one) પણ નથી અને વ્યાપ્ત (onto) પણ નથી,જ્યાં $[x]$ એ $x$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો મહત્તમ પૂર્ણાંક દર્શાવે છે.

ધારો કે $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. તો એક-એક વિધેય $f: S \rightarrow P(S)$ ની સંખ્યા શોધો,જ્યાં $P(S)$ એ $S$ નો ઘાતગણ દર્શાવે છે,જેથી જ્યારે $n < m$ હોય ત્યારે $f(n) \subset f(m)$ થાય.

જો વિધેય $f:[-1,1] \rightarrow R$ એ $f(x) = \begin{cases} 2^x+1, & \text{for } x \in [-1,0) \\ 1, & \text{for } x=0 \\ 2^x-1, & \text{for } x \in (0,1] \end{cases}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત હોય,તો $[-1,1]$ માં $f(x)$ પાસે

વિધેય $f : N \to N$ જે $f(x) = x - 5[\frac{x}{5}]$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે,જ્યાં $N$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ છે અને $[x]$ એ $x$ થી નાની અથવા તેના જેટલી મહત્તમ પૂર્ણાંક સંખ્યા દર્શાવે છે,તે