निम्नलिखित में से कौन सा फलन आच्छादक (surjective) है लेकिन एकैकी (injective) नहीं है?

दिया गया है कि किसी भी $n \in N$ के लिए एक विषम पूर्णांक $q$ और एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक $r$ मौजूद है, जिससे $n$ को अद्वितीय रूप से $n = q \times 2^r$ के रूप में लिखा जा सकता है। मान लीजिए $f: N \rightarrow N \times N$ एक फलन है जिसे $f(n) = \left(r+1, \frac{q+1}{2}\right)$ द्वारा परिभाषित किया गया है। तो,

मान लीजिए $A = \{1, 2, 3, \ldots, n\}$ और $B = \{a, b\}$ है। यदि $A$ से $B$ तक आच्छादक (onto) फलनों की संख्या $62$ है,तो $A$ के ठीक तीन अवयवों वाले उपसमुच्चयों की संख्या ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $R$ सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है और $R^{+}$ सभी धनात्मक वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। $R$ के उपसमुच्चयों $A$ और $B$ के लिए,$f: A \rightarrow B$ को $f(x) = x^2$ द्वारा परिभाषित करें,जहाँ $x \in A$ है। कॉलम-$I$ की वस्तुओं का कॉलम-$II$ की वस्तुओं के साथ मिलान करें।

कॉलम-$I$	कॉलम-$II$
$A$. $f$ एकैकी और आच्छादक है,यदि	$1$. $A = R^{+}, B = R$
$B$. $f$ एकैकी है लेकिन आच्छादक नहीं है,यदि	$2$. $A = B = R$
$C$. $f$ आच्छादक है लेकिन एकैकी नहीं है,यदि	$3$. $A = R, B = R^{+}$
$D$. $f$ न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है,यदि	$4$. $A = B = R^{+}$

$f:[0, \infty) \rightarrow [0, \infty)$ द्वारा परिभाषित फलन $f(x) = \frac{x}{1+x}$ है

यदि $A = \{x \mid x \in N, x \leq 5\}$ और $B = \{x \mid x \in Z, x^{2} - 5x + 6 = 0\}$ है,तो $A$ से $B$ तक आच्छादक (onto) फलनों की संख्या ज्ञात कीजिए।