निम्नलिखित में से कौन सी असमिकाएँ TRUE (सत्य) | vedclass

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Question

(C) टेलर श्रेणी विस्तार का उपयोग करते हुए,$x \in [0, 1]$ के लिए $\cos x \geq 1 - \frac{x^2}{2}$ है।$\int_0^1 x \cos x \, dx \geq \int_0^1 x(1 - \frac{

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$A, B, D$

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(C) टेलर श्रेणी विस्तार का उपयोग करते हुए,$x \in [0, 1]$ के लिए $\cos x \geq 1 - \frac{x^2}{2}$ है।$\int_0^1 x \cos x \, dx \geq \int_0^1 x(1 - \frac{x^2}{2}) \, dx = [\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{8}]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$. अतः,$(A)$ $TRUE$ है।$(B)$ $\sin x \geq x - \frac{x^3}{6}$ का उपयोग करते हुए:$\int_0^1 x \sin x \, dx \geq \int_0^1 x(x - \frac{x^3}{6}) \, dx = [\frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{30}]_0^1 = \frac{1}{3} - \frac{1}{30} = \frac{9}{30} = \frac{3}{10}$. अतः,$(B)$ $TRUE$ है।$(C)$ चूँकि $x \in (0, 1]$ के लिए $\cos x $(D)$ $\sin x \geq x - \frac{x^3}{6}$ का उपयोग करते हुए:$\int_0^1 x^2 \sin x \, dx \geq \int_0^1 x^2(x - \frac{x^3}{6}) \, dx = [\frac{x^4}{4} - \frac{x^6}{36}]_0^1 = \frac{1}{4} - \frac{1}{36} = \frac{9-1}{36} = \frac{8}{36} = \frac{2}{9}$. अतः,$(D)$ $TRUE$ है।अतः,सही विकल्प $(A), (B), (D)$ हैं।

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