int_1^2 log _2(x^3+1) dx + int_1^{log_2 9} (2 | vedclass

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Question

(D) माना $f(x) = \log_2(x^3+1)$। तब $y = \log_2(x^3+1) \implies x^3+1 = 2^y \implies x = (2^y-1)^{1/3}$।अतः,$f^{-1}(x) = (2^x-1)^{1/3}$।दिया गया समाकल

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$5$

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(D) माना $f(x) = \log_2(x^3+1)$। तब $y = \log_2(x^3+1) \implies x^3+1 = 2^y \implies x = (2^y-1)^{1/3}$।अतः,$f^{-1}(x) = (2^x-1)^{1/3}$।दिया गया समाकलन $\int_a^b f(x) dx + \int_{f(a)}^{f(b)} f^{-1}(x) dx = b f(b) - a f(a)$ के रूप में है।यहाँ $a=1$,$b=2$ है। $f(1) = \log_2(1^3+1) = \log_2 2 = 1$। $f(2) = \log_2(2^3+1) = \log_2 9$।अतः,समाकलन का मान $2 \cdot f(2) - 1 \cdot f(1) = 2 \log_2 9 - 1$ है।चूँकि $8 $2$ से गुणा करने पर,$6 $1$ घटाने पर,$5 विशेष रूप से,$2 \log_2 9 - 1 = \log_2 81 - 1 = \log_2 81 - \log_2 2 = \log_2(40.5)$।चूँकि $2^5 = 32$ और $2^6 = 64$,इसलिए $5 इस मान से छोटा या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक $5$ है।

स्तंभ $I$	स्तंभ $II$
$(A) \int_{-1}^1 \frac{dx}{1+x^2}$	$(p) \frac{1}{2} \log \left(\frac{2}{3}\right)$
$(B) \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$	$(q) 2 \log \left(\frac{2}{3}\right)$
$(C) \int_2^3 \frac{dx}{1-x^2}$	$(r) \frac{\pi}{3}$
$(D) \int_1^2 \frac{dx}{x \sqrt{x^2-1}}$	$(s) \frac{\pi}{2}$

$\int_1^2 \log _2(x^3+1) dx + \int_1^{\log_2 9} (2^x-1)^{1/3} dx$ से छोटा या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक . . . . . है।

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यदि $f(x)$ संबंध $f(x) = e^{x} + \int_{0}^{1} (y + xe^{x}) f(y) dy$ को संतुष्ट करता है, तो $e + f(0)$ का मान . . . . . . है।

$ 6\int_{0}^{\pi}|(\sin 3x+\sin 2x+\sin x)| dx $ का मान .... है।

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