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Question

(B) दी गई सम्मिश्र संख्या $z = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$ है।ध्रुवीय रूप में,यह $z = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{3}

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$cis\left(\frac{\pi}{12}\right)$

Vedclass · Answer

(B) दी गई सम्मिश्र संख्या $z = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$ है।ध्रुवीय रूप में,यह $z = \cos\left(\frac{\pi}{3}ight) + i\sin\left(\frac{\pi}{3}ight) = cis\left(\frac{\pi}{3}ight)$ है।डी मोइवर प्रमेय के अनुसार,$cis(	heta)$ के $n$-वें मूल $cis\left(\frac{	heta + 2k\pi}{n}ight)$ द्वारा दिए जाते हैं,जहाँ $k = 0, 1, 2, 3$ है।चतुर्थ मूल $(n=4)$ और $k=0$ के लिए,हमें $cis\left(\frac{\pi/3}{4}ight) = cis\left(\frac{\pi}{12}ight)$ प्राप्त होता है।अतः,$cis\left(\frac{\pi}{12}ight)$ दी गई संख्या का एक चतुर्थ मूल है।

सूची-$I$	सूची-$II$
$P.$ प्रत्येक $z_k$ के लिए एक ऐसा $z_j$ मौजूद है कि $z_k \cdot z_j = 1$	$1.$ सत्य
$Q.$ एक ऐसा $k \in \{1, 2, \ldots, 9\}$ मौजूद है कि $z_1 \cdot z = z_k$ का सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय में कोई हल नहीं है।	$2.$ असत्य
$R.$ $\frac{\|1-z_1\|\|1-z_2\| \ldots \|1-z_9\|}{10}$ का मान	$3.$ $1$
$S.$ $1 - \sum_{k=1}^9 \cos \left(\frac{2k\pi}{10}\right)$ का मान	$4.$ $2$

निम्नलिखित में से कौन सा $\frac{1}{2} + \frac{i\sqrt{3}}{2}$ का चतुर्थ मूल है?

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${\left( {\frac{{1 + \sin \theta + i\cos \theta }}{{1 + \sin \theta - i\cos \theta }}} \right)^n} = $

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