વર્તુળો ${x^2 + y^2 + 2x - 3y + 6 = 0}$ અને ${x^2 + y^2 + x - 8y - 13 = 0}$ ની સામાન્ય જીવા પરનું બિંદુ નીચેનામાંથી કયું છે?

જો રેખા $x - 2y = k$ એ વર્તુળ ${x^2} + {y^2} = 3$ માંથી $2$ લંબાઈની જીવા કાપે,તો $k =$

જો બિંદુ $P(1, 1)$ નો વર્તુળ $S = x^2 + y^2 + 4x + 6y - 3 = 0$ ના સંદર્ભમાં સ્પર્શક જીવા વર્તુળ $S = 0$ ને $A$ અને $B$ માં મળે,તો $\triangle PAB$ નું ક્ષેત્રફળ શોધો.

બે વર્તુળો $x^2 + y^2 - 4x - 12 = 0$ અને $x^2 + y^2 + 4x - 12 = 0$ ના સામાન્ય પ્રદેશમાં એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ (rhombus) અંતર્ગત છે,જેના બે શિરોબિંદુઓ વર્તુળોના કેન્દ્રોને જોડતી રેખા પર છે. તો આ સમબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

બિંદુ $A(0, 1)$ માંથી વર્તુળ $x^2 + y^2 - 2x + 4y + 1 = 0$ પર સ્પર્શકો $AB$ અને $AC$ દોરવામાં આવ્યા છે. $A, B$ અને $C$ માંથી પસાર થતા વર્તુળનું સમીકરણ શોધો.

જો એક ચલ વર્તુળ $S=0$ એ રેખા $y=x$ ને સ્પર્શે છે અને બિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે,તો વર્તુળો $x^2+y^2+6x+8y-7=0$ અને $S=0$ ની સામાન્ય જીવા પર આવેલું નિશ્ચિત બિંદુ કયું છે?