त्रिभुज $ABC$ में सामान्य संकेतों के साथ,$(I I_1) \cdot (I I_2) \cdot (I I_3)$ का मान किसके बराबर है?

एक गैर-समकोण त्रिभुज $\triangle PQR$ में, मान लीजिए $p, q, r$ क्रमशः $P, Q, R$ कोणों के सम्मुख भुजाओं की लंबाई दर्शाते हैं। $R$ से खींची गई माध्यिका भुजा $PQ$ को $S$ पर मिलती है, $P$ से खींचा गया लंब भुजा $QR$ को $E$ पर मिलता है, और $RS$ तथा $PE$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि $p=\sqrt{3}, q=1$, और $\triangle PQR$ के परिवृत्त की त्रिज्या $1$ है, तो निम्नलिखित में से कौन सा/से विकल्प सही है/हैं?
$(1)$ $\triangle SOE$ का क्षेत्रफल $= \frac{\sqrt{3}}{48}$
$(2)$ $\triangle PQR$ के अंतःवृत्त की त्रिज्या $= \frac{\sqrt{3}}{2}(2-\sqrt{3})$
$(3)$ $RS$ की लंबाई $= \frac{\sqrt{7}}{2}$
$(4)$ $OE$ की लंबाई $= \frac{1}{6}$

$ABCD$ एक समलंब चतुर्भुज है जिसमें $AB$ और $CD$ समांतर हैं और $BC \perp CD$ है। यदि $\angle ADB = \theta$,$BC = p$ और $CD = q$ है,तो $AB$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि $x, y, z$ एक त्रिभुज की भुजाओं $a, b, c$ पर डाले गए लंबों की लंबाई हैं,तो $\frac{bx}{c} + \frac{cy}{a} + \frac{az}{b}$ का मान क्या होगा?

$\triangle ABC$ में,$\sin A$ और $\sin B$ समीकरण $c^2 x^2 - c(a+b)x + ab = 0$ को संतुष्ट करते हैं। तो:

एक $\triangle ABC$ में,$(b^2-c^2) \cot A + (c^2-a^2) \cot B =$