Equation of pair of straight lines Questions in Gujarati

(C) આપેલ સમીકરણ $x^2 - (1 + \sqrt{3})xy + \sqrt{3}y^2 = 0$ છે.
આ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સ્વરૂપનું સમઘાત સમીકરણ છે, જ્યાં $a = 1$, $2h = -(1 + \sqrt{3})$, અને $b = \sqrt{3}$ છે.
ધારો કે $m_1 = \tan \alpha$ અને $m_2 = \tan \beta$ એ રેખાઓના ઢાળ છે.
સમઘાત સમીકરણના ગુણધર્મો મુજબ, $m_1 + m_2 = -\frac{2h}{b} = \frac{1 + \sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ અને $m_1 m_2 = \frac{a}{b} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ છે.
આપણે $\tan(\alpha + \beta) = \frac{m_1 + m_2}{1 - m_1 m_2}$ શોધવાનું છે.
કિંમતો મૂકતા: $\tan(\alpha + \beta) = \frac{\frac{1 + \sqrt{3}}{\sqrt{3}}}{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{1 + \sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1}$.
આમ, સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) ધારો કે રેખાઓના ઢાળ $m_1 = \tan \alpha$ અને $m_2 = \tan \beta$ છે.
સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી બે રેખાઓ દર્શાવે છે.
સમઘાત સ્વરૂપમાં દ્વિઘાત સમીકરણના ગુણધર્મો મુજબ, ઢાળનો સરવાળો $m_1 + m_2 = -\frac{2h}{b}$ અને ઢાળનો ગુણાકાર $m_1 m_2 = \frac{a}{b}$ છે.
સરવાળા માટેના ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા: $\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$.
કિંમતો મૂકતા: $\tan(\alpha + \beta) = \frac{m_1 + m_2}{1 - m_1 m_2} = \frac{-\frac{2h}{b}}{1 - \frac{a}{b}}$.
પદને સાદું રૂપ આપતા: $\tan(\alpha + \beta) = \frac{-\frac{2h}{b}}{\frac{b - a}{b}} = \frac{-2h}{b - a} = \frac{2h}{a - b}$.

(B) પગલું $1$: પ્રથમ રેખાનું સમીકરણ શોધો. તે $(1, 4)$ માંથી પસાર થાય છે અને $X$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી, તેનું સમીકરણ $y = 4$ અથવા $y - 4 = 0$ છે.
પગલું $2$: બીજી રેખાનું સમીકરણ શોધો. તે $(1, 4)$ માંથી પસાર થાય છે અને $X$-અક્ષ સાથે $45^\circ$ નો ખૂણો બનાવે છે. તેનો ઢાળ $m = \tan(45^\circ) = 1$ છે. બિંદુ-ઢાળ સ્વરૂપ $(y - y_1) = m(x - x_1)$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને $(y - 4) = 1(x - 1)$ મળે છે, જેનું સાદું રૂપ $y - 4 = x - 1$ અથવા $x - y + 3 = 0$ થાય છે.
પગલું $3$: સંયુક્ત સમીકરણ એ બંને વ્યક્તિગત સમીકરણોનો ગુણાકાર છે: $(y - 4)(x - y + 3) = 0$.
પગલું $4$: ગુણાકારનું વિસ્તરણ કરતા: $xy - y^2 + 3y - 4x + 4y - 12 = 0$.
પગલું $5$: સાદું રૂપ આપતા $xy - y^2 - 4x + 7y - 12 = 0$ મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $\frac{x^2}{a} + \frac{2xy}{h} + \frac{y^2}{b} = 0$ છે. $abh$ વડે ગુણતા, $bhx^2 + 2axy + ahy^2 = 0$ મળે છે.
$x^2$ વડે ભાગતા, $ahy^2/x^2 + 2ay/x + bh = 0$ મળે છે. ધારો કે $m = y/x$ એ રેખાઓનો ઢાળ છે.
તેથી $ahm^2 + 2am + bh = 0$ થાય.
ધારો કે બીજ $m$ અને $2m$ છે. બીજનો સરવાળો: $m + 2m = 3m = -2a / ah = -2/h$, તેથી $m = -2/(3h)$ મળે.
બીજનો ગુણાકાર: $m \cdot 2m = 2m^2 = bh / ah = b/a$ થાય.
$m = -2/(3h)$ ને $2m^2 = b/a$ માં મૂકતા: $2(-2/(3h))^2 = b/a \implies 2(4 / 9h^2) = b/a \implies 8 / 9h^2 = b/a$ મળે.
ગોઠવતા $h^2 / ab = 9 / 8$ મળે છે, તેથી $h^2 : ab = 9:8$ થાય.

(A) ધારો કે જરૂરી રેખાઓનો ઢાળ $m$ છે. આપેલી રેખા $3x + y - 6 = 0$ નો ઢાળ $m_1 = -3$ છે.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{4}$ છે. સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{m - m_1}{1 + m m_1} \right|$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan \frac{\pi}{4} = \left| \frac{m - (-3)}{1 + m(-3)} \right| \implies 1 = \left| \frac{m + 3}{1 - 3m} \right|$.
આનાથી બે કિસ્સા મળે છે: $1 = \frac{m + 3}{1 - 3m}$ અથવા $1 = -\frac{m + 3}{1 - 3m}$.
કિસ્સો $1$: $1 - 3m = m + 3 \implies 4m = -2 \implies m = -\frac{1}{2}$.
કિસ્સો $2$: $1 - 3m = -(m + 3) \implies 1 - 3m = -m - 3 \implies 2m = 4 \implies m = 2$.
રેખાઓના સમીકરણો $y = -\frac{1}{2}x$ અને $y = 2x$ છે, જે $x + 2y = 0$ અને $2x - y = 0$ છે.
સંયુક્ત સમીકરણ $(x + 2y)(2x - y) = 0$ છે.
$2x^2 - xy + 4xy - 2y^2 = 0 \implies 2x^2 + 3xy - 2y^2 = 0$.