Concurrency of three lines Questions in Hindi

(B) चरण $1$: $x - y + 1 = 0$ $(i)$ और $2x + 3y - 8 = 0$ (ii) के प्रतिच्छेदन बिंदु को ज्ञात करें।
$(i)$ से, $y = x + 1$। इसे (ii) में प्रतिस्थापित करें: $2x + 3(x + 1) - 8 = 0 \implies 2x + 3x + 3 - 8 = 0 \implies 5x = 5 \implies x = 1$।
तब $y = 1 + 1 = 2$। प्रतिच्छेदन बिंदु $(1, 2)$ है।
चरण $2$: रेखा का $x$-अंतःखंड $3$ है, इसलिए यह $(3, 0)$ से गुजरती है।
चरण $3$: $(1, 2)$ और $(3, 0)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात करें।
ढाल $m = \frac{0 - 2}{3 - 1} = \frac{-2}{2} = -1$ है।
बिंदु-ढाल रूप $y - y_1 = m(x - x_1)$ का उपयोग करते हुए: $y - 0 = -1(x - 3) \implies y = -x + 3 \implies x + y - 3 = 0$।

(D) दिया गया समीकरण $(2 + k)x + (1 + k)y = 5 + 7k$ है।
$k$ वाले पदों को एक साथ समूहित करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें:
$2x + kx + y + ky = 5 + 7k$
$(2x + y - 5) + k(x + y - 7) = 0$
$k$ के सभी मानों के लिए इस रेखा को एक निश्चित बिंदु से गुजरने के लिए, कोष्ठक में दिए गए दोनों व्यंजकों का शून्य होना आवश्यक है:
$2x + y - 5 = 0$ ---$(1)$
$x + y - 7 = 0$ ---$(2)$
$(1)$ में से $(2)$ को घटाने पर:
$(2x + y - 5) - (x + y - 7) = 0$
$x + 2 = 0 \implies x = -2$
$x = -2$ को $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$-2 + y - 7 = 0 \implies y = 9$
निश्चित बिंदु $(-2, 9)$ है।
मूल बिंदु $(0, 0)$ से दूरी $d = \sqrt{(-2)^2 + 9^2} = \sqrt{4 + 81} = \sqrt{85}$ है।
अतः, $d^2 = 85$।

(C) रेखाओं के परिवार का दिया गया समीकरण: $4ax + 3by + c = 0$ $(1)$।
दी गई शर्त: $a + b + c = 0$, जिसका अर्थ है $c = -a - b$ $(2)$।
समीकरण $(2)$ को $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$4ax + 3by - a - b = 0$
$a$ और $b$ को समूहित करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करें:
$a(4x - 1) + b(3y - 1) = 0$
सभी वास्तविक स्थिरांक $a$ और $b$ के लिए इस समीकरण के सत्य होने हेतु, $a$ और $b$ के गुणांक स्वतंत्र रूप से शून्य होने चाहिए:
$4x - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{4}$
$3y - 1 = 0 \implies y = \frac{1}{3}$
अतः, रेखाएँ बिंदु $(\frac{1}{4}, \frac{1}{3})$ पर संगामी हैं।