Excess Pressure and coalesce of Bubble and drop Questions in Hindi

(A) साबुन के बुलबुले के अंदर अतिरिक्त दबाव $\Delta P = P_{in} - P_{out} = \frac{4T}{r}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $r$ बुलबुले की त्रिज्या है।
बुलबुले $A$ के लिए: $\Delta P_A = 1.02 - 1 = 0.02 \text{ atm} = \frac{4T}{r_A}$.
बुलबुले $B$ के लिए: $\Delta P_B = 1.04 - 1 = 0.04 \text{ atm} = \frac{4T}{r_B}$.
अनुपात लेने पर: $\frac{\Delta P_A}{\Delta P_B} = \frac{r_B}{r_A} = \frac{0.02}{0.04} = \frac{1}{2}$.
इस प्रकार, $r_A = 2r_B$.
गोलाकार बुलबुले का आयतन $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ होता है।
आयतन का अनुपात $\frac{V_A}{V_B} = \frac{r_A^3}{r_B^3} = (2)^3 = 8$ है।
अतः, अनुपात $8:1$ है।

(C) माना बड़े बुलबुले की त्रिज्या $R = D/2$ है। बड़े बुलबुले का आयतन $V = \frac{4}{3}\pi R^3$ है।
माना प्रत्येक छोटे बुलबुले की त्रिज्या $r$ है। चूंकि आयतन स्थिर रहता है, $V = 64 \times (\frac{4}{3}\pi r^3)$।
अतः, $R^3 = 64r^3$, जिसका अर्थ है $R = 4r$ या $r = R/4$।
बड़े साबुन के बुलबुले का प्रारंभिक पृष्ठीय क्षेत्रफल (दो सतहें होने के कारण) $A_i = 2 \times (4\pi R^2) = 8\pi R^2$ है।
$64$ छोटे बुलबुलों का अंतिम पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_f = 64 \times 2 \times (4\pi r^2) = 512\pi r^2$ है।
$r = R/4$ रखने पर, $A_f = 512\pi (R/4)^2 = 512\pi (R^2/16) = 32\pi R^2$ प्राप्त होता है।
पृष्ठीय क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A = A_f - A_i = 32\pi R^2 - 8\pi R^2 = 24\pi R^2$ है।
पृष्ठ ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = T \times \Delta A = T \times 24\pi R^2$ है।
$R = D/2$ रखने पर, $\Delta U = T \times 24\pi (D/2)^2 = T \times 24\pi (D^2/4) = 6\pi T D^2$ प्राप्त होता है।

(B) साबुन के बुलबुले के भीतर अतिरिक्त दबाव $\Delta P$ का सूत्र है: $\Delta P = \frac{4T}{r}$, जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $r$ बुलबुले की त्रिज्या है।
दिया गया है:
अतिरिक्त दबाव $\Delta P = 48 \text{ dyne/cm}^2$
त्रिज्या $r = 2.5 \text{ cm}$
सूत्र में मान रखने पर:
$48 = \frac{4 \times T}{2.5}$
$48 \times 2.5 = 4T$
$120 = 4T$
$T = \frac{120}{4} = 30 \text{ dyne/cm}$
अतः, साबुन के घोल का पृष्ठ तनाव $30 \text{ dyne/cm}$ है।

(C) $R$ त्रिज्या वाले साबुन के बुलबुले के अंदर अतिरिक्त दबाव $P = \frac{4S}{R}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $S$ पृष्ठ तनाव है।
दिया गया है कि पहले बुलबुले में अतिरिक्त दबाव $(P_1)$, दूसरे बुलबुले $(P_2)$ के दबाव का तीन गुना है:
$P_1 = 3P_2$
$\frac{4S}{R_1} = 3 \times \frac{4S}{R_2}$
$\frac{1}{R_1} = \frac{3}{R_2} \implies R_2 = 3R_1$
गोलाकार बुलबुले का आयतन $V = \frac{4}{3}\pi R^3$ होता है।
आयतन का अनुपात:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3}\pi R_1^3}{\frac{4}{3}\pi R_2^3} = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^3$
$R_2 = 3R_1$ रखने पर:
$\frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{R_1}{3R_1}\right)^3 = \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{27}$
अतः, पहले और दूसरे बुलबुले के आयतन का अनुपात $1:27$ है। विकल्पों को देखते हुए, $27$ संभवतः $V_2/V_1$ का अनुपात है।

(A) $R$ त्रिज्या वाले साबुन के बुलबुले के अंदर का अतिरिक्त दबाव $P = \frac{4T}{R}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $T$ साबुन के घोल का पृष्ठ तनाव है।
दिया गया है कि पहले बुलबुले का अतिरिक्त दबाव $(P_1)$, दूसरे बुलबुले के दबाव $(P_2)$ का तीन गुना है:
$P_1 = 3P_2$
$\frac{4T}{R_1} = 3 \times \frac{4T}{R_2}$
$\frac{1}{R_1} = \frac{3}{R_2} \implies R_2 = 3R_1$
गोलाकार बुलबुले का आयतन $V = \frac{4}{3}\pi R^3$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
पहले और दूसरे बुलबुले के आयतन का अनुपात है:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3}\pi R_1^3}{\frac{4}{3}\pi R_2^3} = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^3$
$R_2 = 3R_1$ का मान रखने पर:
$\frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{R_1}{3R_1}\right)^3 = \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{27}$
अतः, आयतन का अनुपात $1:27$ है।

(A) साबुन के बुलबुले के लिए, अंदर का अतिरिक्त दबाव $\Delta P = \frac{4T}{r}$ द्वारा दिया जाता है। अंदर का कुल दबाव $P_{in} = P + \frac{4T}{r}$ है।
चूंकि प्रक्रिया समतापीय है, हवा के मोलों की संख्या स्थिर रहती है, इसलिए $PV = \text{\text{स्थिरांक}}$.
दो प्रारंभिक बुलबुलों के लिए: $P_1 V_1 = (P + \frac{4T}{r_1}) \cdot \frac{4}{3} \pi r_1^3$ और $P_2 V_2 = (P + \frac{4T}{r_2}) \cdot \frac{4}{3} \pi r_2^3$.
अंतिम बुलबुले के लिए: $P_f V_f = (P + \frac{4T}{R}) \cdot \frac{4}{3} \pi R^3$.
चूंकि हवा की कुल मात्रा संरक्षित रहती है, $P_1 V_1 + P_2 V_2 = P_f V_f$.
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $(P + \frac{4T}{r_1}) \frac{4}{3} \pi r_1^3 + (P + \frac{4T}{r_2}) \frac{4}{3} \pi r_2^3 = (P + \frac{4T}{R}) \frac{4}{3} \pi R^3$.
$P r_1^3 + 4T r_1^2 + P r_2^3 + 4T r_2^2 = P R^3 + 4T R^2$.
$P(r_1^3 + r_2^3 - R^3) = 4T(R^2 - r_1^2 - r_2^2)$.
$T = \frac{P(r_1^3 + r_2^3 - R^3)}{4(R^2 - r_1^2 - r_2^2)} = \frac{P(R^3 - r_1^3 - r_2^3)}{4(r_1^2 + r_2^2 - R^2)}$.

(D) $r$ त्रिज्या वाली गोलाकार पानी की बूंद के भीतर अतिरिक्त दबाव $P = \frac{2T}{r}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है।
दिया गया है कि बूंद $A$ में अतिरिक्त दबाव बूंद $B$ की तुलना में चार गुना है, इसलिए $P_A = 4P_B$ है।
सूत्र का उपयोग करने पर, $\frac{2T}{r_A} = 4 \times \frac{2T}{r_B}$, जिसे सरल करने पर $\frac{1}{r_A} = \frac{4}{r_B}$ या $r_B = 4r_A$ प्राप्त होता है।
गोलाकार पानी की बूंद का द्रव्यमान $m = \rho V = \rho \times \frac{4}{3} \pi r^3$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $\rho$ पानी का घनत्व है।
इसलिए, बूंद $A$ के द्रव्यमान का बूंद $B$ के द्रव्यमान से अनुपात $\frac{m_A}{m_B} = \frac{\rho \times \frac{4}{3} \pi r_A^3}{\rho \times \frac{4}{3} \pi r_B^3} = \left( \frac{r_A}{r_B} \right)^3$ है।
$r_B = 4r_A$ रखने पर, हमें $\frac{m_A}{m_B} = \left( \frac{r_A}{4r_A} \right)^3 = \left( \frac{1}{4} \right)^3 = \frac{1}{64}$ प्राप्त होता है। यदि प्रश्न का अर्थ बूंद $B$ और $A$ के द्रव्यमान का अनुपात है, तो यह $64$ होगा।

(B) $r$ त्रिज्या वाले साबुन के बुलबुले के भीतर अतिरिक्त दबाव $P$ का सूत्र $P = \frac{4T}{r}$ है, जहाँ $T$ साबुन के घोल का पृष्ठ तनाव है।
चूंकि दोनों बुलबुलों के लिए $T$ स्थिर है, इसलिए अतिरिक्त दबाव त्रिज्या के व्युत्क्रमानुपाती होता है: $P \propto \frac{1}{r}$।
त्रिज्याओं का अनुपात $r_A : r_B = 3 : 2$ दिया गया है, इसलिए अतिरिक्त दबावों का अनुपात $P_A : P_B$ इस प्रकार होगा:
$P_A / P_B = r_B / r_A = 2 / 3$।
अतः, बुलबुले $A$ और $B$ के भीतर के अतिरिक्त दबाव का अनुपात $2 : 3$ है।