Pressure and Energy Questions in Hindi

(A) एक आदर्श गैस के लिए,अंतर-आणविक बलों को नगण्य माना जाता है और टक्करें पूरी तरह से प्रत्यास्थ होती हैं।
परिणामस्वरूप,एक आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा $U$ केवल उसके निरपेक्ष तापमान $T$ का एक फलन है।
गैसों के गतिज सिद्धांत के अनुसार,एक आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा $U = \frac{f}{2} nRT$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $f$ स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) है,$n$ मोलों की संख्या है,$R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है और $T$ केल्विन में तापमान है।
चूँकि $U \propto T$,आंतरिक ऊर्जा $U$ और तापमान $T$ के बीच का संबंध रैखिक है,जो मूल बिंदु $(0, 0)$ से होकर गुजरता है।
इसलिए,जो ग्राफ इस संबंध को सबसे अच्छी तरह दर्शाता है,वह मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है,जो ग्राफ $A$ के अनुरूप है।

(C) गैस के अणु की औसत स्थानांतरणीय गतिज ऊर्जा $(K_{avg})$ का सूत्र $K_{avg} = \frac{3}{2} k_B T$ है, जहाँ $k_B$ बोल्ट्जमैन नियतांक है और $T$ परम तापमान है।
चूँकि हाइड्रोजन और ऑक्सीजन दोनों के लिए तापमान $T$ समान है, इसलिए औसत स्थानांतरणीय गतिज ऊर्जा केवल तापमान पर निर्भर करती है।
अतः, हाइड्रोजन और ऑक्सीजन की औसत स्थानांतरणीय गतिज ऊर्जा का अनुपात $1: 1$ है।

(A) एक आदर्श गैस का दबाव गतिज सिद्धांत के सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$p = \frac{1}{3} \frac{N m}{V} v^2$
जहाँ $m$ अणु का द्रव्यमान है, $N$ अणुओं की संख्या है, $V$ आयतन है, और $v$ वर्ग-माध्य-मूल गति है।
मान लीजिए प्रारंभिक दबाव $p = \frac{1}{3} \frac{N m}{V} v^2$ है।
जब प्रत्येक अणु का द्रव्यमान दोगुना $(m' = 2m)$ और गति आधी $(v' = v/2)$ कर दी जाती है, तो नया दबाव $p'$ होगा:
$p' = \frac{1}{3} \frac{N (2m)}{V} \left(\frac{v}{2}\right)^2$
$p' = \frac{1}{3} \frac{N (2m)}{V} \left(\frac{v^2}{4}\right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} \frac{N m}{V} v^2 \right) = \frac{1}{2} p$
अतः, प्रारंभिक दबाव और अंतिम दबाव का अनुपात है:
$\frac{p}{p'} = \frac{p}{p/2} = \frac{2}{1}$
इस प्रकार, अनुपात $2: 1$ है।

(C) आदर्श गैस की कुल आंतरिक ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = n \frac{f}{2} R T$ है।
द्वि-परमाणुक गैस के लिए, स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f = 5$ होती है।
दिया गया है: मोल की संख्या $n = 4$, तापमान $T = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$, और $R = 8.31 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1}$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$U = 4 \times \frac{5}{2} \times 8.31 \times 300$
$U = 2 \times 5 \times 8.31 \times 300$
$U = 10 \times 2493 = 24930 \ J$
$U = 24.93 \ kJ$.

(A) आदर्श गैस के लिए, आंतरिक ऊर्जा $U$, दाब $P$ और आयतन $V$ से इस सूत्र द्वारा संबंधित है: $U = \frac{3}{2} PV$।
दिया गया है कि प्रति इकाई आयतन ऊर्जा (ऊर्जा घनत्व) $u = \frac{U}{V} = 600 \text{ J/L}$ है।
चूंकि $1 \text{ L} = 10^{-3} \text{ m}^3$, इसलिए $SI$ मात्रक में ऊर्जा घनत्व $u = \frac{600 \text{ J}}{10^{-3} \text{ m}^3} = 6 \times 10^5 \text{ J/m}^3$ है।
संबंध $u = \frac{3}{2} P$ का उपयोग करने पर, हमें $P = \frac{2}{3} u$ प्राप्त होता है।
$u$ का मान रखने पर: $P = \frac{2}{3} \times 6 \times 10^5 \text{ N/m}^2 = 4 \times 10^5 \text{ N/m}^2$।

(C) गैसों के अणुगति सिद्धांत के अनुसार, एक आदर्श गैस द्वारा पात्र की दीवारों पर लगाया गया दबाव $(P)$ संबंध $P = \frac{1}{3} \rho v_{rms}^2$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $\rho$ घनत्व है और $v_{rms}$ वर्ग माध्य मूल वेग है।
चूंकि $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$, इसलिए $v_{rms}^2 = \frac{3RT}{M}$ होता है।
इसे दबाव के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें $P = \frac{1}{3} \rho \left(\frac{3RT}{M}\right) = \frac{\rho RT}{M}$ प्राप्त होता है।
चूंकि एक बंद पात्र में गैस की निश्चित मात्रा के लिए घनत्व $\rho$ और मोलर द्रव्यमान $M$ स्थिर रहते हैं, इसलिए दबाव $P$ तापमान $T$ के सीधे आनुपातिक होता है $(P \propto T)$।
बल $(F)$ को दबाव और दीवार के क्षेत्रफल के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है $(F = P \times A)$।
चूंकि पात्र की दीवारों का क्षेत्रफल स्थिर है, इसलिए बल $F$ भी दबाव के सीधे आनुपातिक होता है, और इस प्रकार यह तापमान $T$ के सीधे आनुपातिक होता है $(F \propto T^1)$।

(D) गैस के एक अणु की स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $(K)$ का सूत्र $K = \frac{3}{2} k_B T$ है, जहाँ $k_B$ बोल्ट्ज़मैन नियतांक है और $T$ परम ताप है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि $K \propto T$ है।
यदि गतिज ऊर्जा को दोगुना करना है, अर्थात $K' = 2K$, तो नया तापमान $T'$ को संबंध $K' \propto T'$ को संतुष्ट करना होगा।
चूँकि $K' = 2K$, इसलिए $T' = 2T$ होगा।
अतः, गैस के अणुओं की स्थानांतरण गतिज ऊर्जा को दोगुना करने के लिए परम ताप को बढ़ाकर $2T$ करना होगा।

(C) एक आदर्श गैस की गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ उसके परम तापमान $(T)$ (केल्विन में) के सीधे आनुपातिक होती है।
$K.E. \propto T$
दिया गया है, प्रारंभिक तापमान $T_1 = 27^\circ$$C$ = $27 + 273 = 300$ $K$.
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_1 = E_0$.
अंतिम तापमान $T_2 = 177^\circ$$C$ = $177 + 273 = 450$ $K$.
संबंध $\frac{K_2}{K_1} = \frac{T_2}{T_1}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{K_2}{E_0} = \frac{450}{300}$
$\frac{K_2}{E_0} = \frac{3}{2}$
$K_2 = \frac{3}{2} E_0$.

(A) गैसों के गतिज सिद्धांत के अनुसार, एक आदर्श गैस द्वारा लगाया गया दबाव $P$ निम्नलिखित व्यंजक द्वारा दिया जाता है:
$P = \frac{1}{3} \rho v_{rms}^2$
जहाँ $\rho$ गैस का घनत्व है और $v_{rms}$ वर्ग माध्य मूल वेग है।
हम जानते हैं कि प्रति इकाई आयतन गतिज ऊर्जा $E$ इस प्रकार है:
$E = \frac{1}{2} \rho v_{rms}^2$
इससे, हम लिख सकते हैं कि $\rho v_{rms}^2 = 2E$।
इस मान को दबाव के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$P = \frac{1}{3} (2E) = \frac{2}{3} E$
अतः, दबाव गैस की प्रति इकाई आयतन गतिज ऊर्जा का $(2/3)$ गुना होता है।