Effect of Dielectric Inside Capacitor Questions in Hindi

(C) जब एक परावैद्युत पदार्थ को संधारित्र की प्लेटों के बीच रखा जाता है, तो वह ध्रुवित हो जाता है। परावैद्युत के भीतर उत्पन्न प्रेरित विद्युत क्षेत्र प्लेटों द्वारा लगाए गए बाहरी विद्युत क्षेत्र का विरोध करता है। परिणामस्वरूप, प्लेटों के बीच का कुल विद्युत क्षेत्र $E$ कम हो जाता है। चूंकि विभवांतर $V$, विद्युत क्षेत्र से $V = E \cdot d$ (जहाँ $d$ प्लेटों के बीच की दूरी है) द्वारा संबंधित है, इसलिए विद्युत क्षेत्र में कमी आने से प्लेटों के बीच प्रभावी विभवांतर कम हो जाता है। चूंकि $C = Q/V$ होता है, इसलिए स्थिर आवेश $Q$ के लिए $V$ में कमी आने से धारिता $C$ में वृद्धि होती है।

(D) वायु माध्यम वाले समांतर प्लेट संधारित्र की प्रारंभिक धारिता $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ द्वारा दी जाती है।
जब $t = \frac{d}{2}$ मोटाई और $K$ परावैद्युतांक वाली एक परावैद्युत स्लैब को रखा जाता है, तो नई धारिता $C'$ का सूत्र $C' = \frac{\epsilon_0 A}{d - t + \frac{t}{K}}$ होता है।
सूत्र में $t = \frac{d}{2}$ का मान रखने पर:
$C' = \frac{\epsilon_0 A}{d - \frac{d}{2} + \frac{d}{2K}}$
$C' = \frac{\epsilon_0 A}{\frac{d}{2} + \frac{d}{2K}}$
$C' = \frac{\epsilon_0 A}{\frac{d}{2} (1 + \frac{1}{K})}$
$C' = \frac{2 \epsilon_0 A}{d (\frac{K + 1}{K})}$
$C' = \frac{2 \epsilon_0 A}{d} \cdot \frac{K}{K + 1}$
चूंकि $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$, इसलिए $C$ का मान रखने पर:
$C' = \frac{2KC}{K + 1}$.

(A) परावैद्युत के बिना समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C_0 = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ होती है।
जब $t = (4/5)d$ मोटाई और $K$ परावैद्युतांक वाली एक परावैद्युत स्लैब को रखा जाता है, तो नई धारिता $C$ का सूत्र $C = \frac{\epsilon_0 A}{d - t + (t/K)}$ होता है।
सूत्र में $t = (4/5)d$ रखने पर:
$C = \frac{\epsilon_0 A}{d - (4/5)d + ((4/5)d/K)}$
$C = \frac{\epsilon_0 A}{(1/5)d + (4d/5K)}$
$C = \frac{\epsilon_0 A}{(d/5) [1 + (4/K)]} = \frac{\epsilon_0 A}{(d/5) [(K + 4)/K]}$
$C = \frac{5K \epsilon_0 A}{d(K + 4)}$
चूँकि $C_0 = \frac{\epsilon_0 A}{d}$, इसलिए $C = C_0 \cdot \frac{5K}{K + 4}$ प्राप्त होता है।
अतः, अनुपात $(C/C_0) = \frac{5K}{K + 4}$ है।

(B) वायु-भरे समानांतर प्लेट संधारित्र की मूल धारिता $C_0 = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ होती है।
जब $t$ मोटाई और $K$ परावैद्युतांक वाली एक परावैद्युत स्लैब को रखा जाता है, तो नई धारिता $C' = \frac{\epsilon_0 A}{d - t + \frac{t}{K}}$ द्वारा दी जाती है।
यह दिया गया है कि $C' = \frac{1}{3} C_0$, इसलिए $\frac{\epsilon_0 A}{d - t + \frac{t}{K}} = \frac{1}{3} \frac{\epsilon_0 A}{d}$ है।
इसे सरल करने पर $3d = d - t + \frac{t}{K}$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, $2d + t = \frac{t}{K}$ मिलता है।
अतः, $K = \frac{t}{2d + t}$।

(D) जब बैटरी से डिस्कनेक्ट किए गए समांतर प्लेट कैपेसिटर में $K$ परावैद्युतांक वाला परावैद्युत डाला जाता है, तो प्लेटों पर आवेश $Q$ स्थिर रहता है।
$1$. नई धारिता $C' = KC$ हो जाती है।
$2$. चूंकि $Q$ स्थिर है, नया विभव $V' = Q / C' = Q / (KC) = V / K$ होगा। चूंकि $K > 1$ है, इसलिए विभव $V$ घट जाता है।
$3$. नई ऊर्जा $E' = Q^2 / (2C') = Q^2 / (2KC) = E / K$ होगी। चूंकि $K > 1$ है, इसलिए ऊर्जा $E$ भी घट जाती है।
अतः, $V$ और $E$ दोनों घटते हैं।

(A) माना प्रत्येक समान वायु संधारित्र की धारिता $C$ है।
प्रारंभ में, दोनों $V$ e.m.f. की बैटरी के साथ श्रेणीक्रम में हैं। तुल्य धारिता $C_{eq} = C/2$ है।
जब एक संधारित्र को $K$ परावैद्युतांक वाले माध्यम में रखा जाता है, तो उसकी नई धारिता $C' = KC$ हो जाती है।
नई तुल्य धारिता $C_{eq}' = \frac{C \cdot KC}{C + KC} = \frac{KC}{K + 1}$ है।
बैटरी द्वारा प्रदान किया गया कुल आवेश $Q = C_{eq}' V = \frac{KCV}{K + 1}$ है।
चूंकि संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं, इसलिए दोनों से समान आवेश $Q$ प्रवाहित होता है।
वायु संधारित्र (जिसमें परावैद्युत नहीं है) के सिरों पर विभवांतर $V_1 = \frac{Q}{C} = \frac{KCV}{C(K + 1)} = \frac{KV}{K + 1}$ होगा।

(A) $1$. प्रारंभ में, $2C$ और $C$ संधारित्र समानांतर क्रम में हैं और $V$ विभव की बैटरी से जुड़े हैं। संचित कुल आवेश $Q = (2C + C)V = 3CV$ है।
$2$. जब बैटरी को हटा दिया जाता है, तो कुल आवेश $Q = 3CV$ स्थिर रहता है।
$3$. संधारित्र $C$ को परावैद्युत $K$ से भरने के बाद, इसकी नई धारिता $C' = KC$ हो जाती है। $2C$ संधारित्र अपरिवर्तित रहता है।
$4$. संधारित्र अभी भी समानांतर क्रम में हैं, इसलिए उनमें समान विभवांतर $V'$ होता है।
$5$. नई कुल धारिता $C_{eq} = 2C + KC = C(K + 2)$ है।
$6$. $Q = C_{eq}V'$ संबंध का उपयोग करने पर, हमें $3CV = C(K + 2)V'$ प्राप्त होता है।
$7$. $V'$ के लिए हल करने पर, $V' = \frac{3CV}{C(K + 2)} = \frac{3V}{(K + 2)}$ प्राप्त होता है।

(A) हवा वाले समानांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C_0 = \frac{\epsilon_0 A}{d} = 15 \text{ pF}$ द्वारा दी जाती है।
जब प्लेटों के बीच की दूरी को दोगुना $(d' = 2d)$ किया जाता है और $K = 3.5$ परावैद्युतांक वाले माध्यम को भरा जाता है, तो नई धारिता $C' = \frac{K \epsilon_0 A}{d'}$ होती है।
मान रखने पर, $C' = \frac{3.5 \times \epsilon_0 A}{2d} = \frac{3.5}{2} \times C_0$.
$C' = 1.75 \times 15 \text{ pF} = 26.25 \text{ pF}$.
दिया गया है कि $C' = x/4 \text{ pF}$, इसलिए $26.25 = x/4$.
अतः, $x = 26.25 \times 4 = 105$.