Mix Examples - Electric Potential and Capacitance Questions in Gujarati

(A) ધારો કે પ્રારંભિક અંતર $r_i = 4R$ છે અને જ્યારે તેઓ એકબીજાને સ્પર્શે ત્યારે અંતિમ અંતર $r_f = 2R$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, કુલ પ્રારંભિક ઉર્જા = કુલ અંતિમ ઉર્જા.
પ્રારંભિક ઉર્જા: $E_i = 2 \times (\frac{1}{2} m u^2) - \frac{G m^2}{4R} + \frac{k Q^2}{4R} = m u^2 - \frac{G m^2}{4R} + \frac{k Q^2}{4R}$.
અંતિમ ઉર્જા (સ્પર્શતી વખતે, ઝડપ શૂન્ય છે): $E_f = 0 - \frac{G m^2}{2R} + \frac{k Q^2}{2R}$.
$E_i = E_f$ ને સરખાવતા:
$m u^2 - \frac{G m^2}{4R} + \frac{k Q^2}{4R} = - \frac{G m^2}{2R} + \frac{k Q^2}{2R}$.
$m u^2 = \frac{k Q^2}{4R} - \frac{G m^2}{4R} = \frac{1}{4R} (k Q^2 - G m^2)$.
$u = \sqrt{\frac{k Q^2}{4 m R} (1 - \frac{G m^2}{k Q^2})}$.

(A) બેટરી સાથે જોડાયેલા કેપેસિટરની સ્થિત-વિદ્યુત ઉર્જા $U = \frac{1}{2}CV^2$ છે.
અહીં $C = \frac{\epsilon_0 A}{x}$, તેથી $U = \frac{1}{2} \left( \frac{\epsilon_0 A}{x} \right) V^2$ થાય.
બેટરી જોડાયેલી હોવાથી, વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ અચળ રહે છે.
તેથી, $U \propto \frac{1}{x} = x^{-1}$ થાય.
ઉર્જામાં થતા ફેરફારનો સમય દર $\frac{dU}{dt} = \frac{dU}{dx} \cdot \frac{dx}{dt}$ છે.
આપેલ છે કે પ્લેટોને $v$ જેટલી સમાન ઝડપે દૂર ખેંચવામાં આવે છે, તેથી $\frac{dx}{dt} = v$ (અચળ).
હવે, $U$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dU}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{\epsilon_0 A V^2}{2} \cdot x^{-1} \right) = -\frac{\epsilon_0 A V^2}{2} \cdot x^{-2}$ મળે.
આમ, $\frac{dU}{dt} = \left( -\frac{\epsilon_0 A V^2}{2} \cdot x^{-2} \right) \cdot v$ થાય.
અહીં $\epsilon_0, A, V,$ અને $v$ અચળ હોવાથી, $\frac{dU}{dt} \propto x^{-2}$ મળે.
તેને $x^\alpha$ સાથે સરખાવતા, આપણને $\alpha = -2$ મળે છે.

(B) વિધાન $A$ સાચું છે: ગૌસના નિયમ મુજબ, સ્થિત વિદ્યુત સંતુલનમાં વાહકની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે, જેનો અર્થ છે કે વાહકની અંદર ચોખ્ખી વિદ્યુતભાર ઘનતા શૂન્ય હોય છે.
કારણ $R$ પણ સાચું છે: જો કોઈ મુક્ત વિદ્યુતભાર વાહકને કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચે (શૂન્યાવકાશ અથવા હવામાં) મૂકવામાં આવે, તો તે $F = qE$ જેટલું વિદ્યુત બળ અનુભવે છે અને ડ્રિફ્ટ થાય છે.
જોકે, વાહકની અંદર ચોખ્ખો વિદ્યુતભાર ન હોવાનું કારણ સપાટી પર વિદ્યુતભારોનું પુનઃવિતરણ છે જે આંતરિક ક્ષેત્રને નાબૂદ કરે છે, જે કેપેસિટર પ્લેટો વચ્ચેના વિદ્યુતભારોના વર્તનથી સ્વતંત્ર છે. તેથી, $R$ એ $A$ ની સાચી સમજૂતી નથી.

(D) આ પરિપથ એક સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ છે કારણ કે $\frac{C_1}{C_2} = \frac{C_4}{C_3} = \frac{10}{10} = 1$ થાય છે.
બ્રિજ સંતુલિત હોવાથી, મધ્યના કેપેસીટર $C_5$ માંથી કોઈ વિદ્યુતભાર વહેતો નથી.
તેથી, પરિપથ બે સમાંતર શાખાઓમાં સરળ બને છે, જેમાં દરેક શાખામાં બે કેપેસીટર શ્રેણીમાં છે.
ડાબી શાખામાં $C_1$ અને $C_2$ શ્રેણીમાં છે, અને જમણી શાખામાં $C_4$ અને $C_3$ શ્રેણીમાં છે.
દરેક શાખાનું સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ: $C_{\text{branch}} = \frac{10 \times 10}{10 + 10} = 5 \mu F$.
કુલ સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ: $C_{\text{eq}} = 5 \mu F + 5 \mu F = 10 \mu F$.
બેટરી દ્વારા પૂરો પાડવામાં આવતો કુલ વિદ્યુતભાર: $Q = C_{\text{eq}}V = 10 \mu F \times 50 \ V = 500 \mu C$.
શાખાઓ સમાન હોવાથી, વિદ્યુતભાર સમાન રીતે વહેંચાય છે: દરેક શાખામાંથી $250 \mu C$ વિદ્યુતભાર વહે છે.
આમ, દરેક કેપેસીટર $C_1, C_2, C_3, C_4$ પર $250 \mu C$ અને $C_5$ પર $0 \mu C$ વિદ્યુતભાર હોય છે.

(D) $1$. કેપેસિટર $P$ અને $Q$ શ્રેણીમાં છે. તેમનું સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{PQ}$ આ મુજબ આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{C_{PQ}} = \frac{1}{C} + \frac{1}{C} = \frac{2}{C}$, તેથી $C_{PQ} = \frac{C}{2}$.
$2$. $P$ અને $Q$ ના શ્રેણી જોડાણ પરનો વોલ્ટેજ $V$ છે. કારણ કે $P$ અને $Q$ સમાન છે, દરેક પરનો વોલ્ટેજ $\frac{V}{2}$ છે.
$3$. કેપેસિટર $P$ માં સંગ્રહિત ઉર્જા $U_P = \frac{1}{2} C (\frac{V}{2})^2 = \frac{1}{2} C \frac{V^2}{4} = \frac{CV^2}{8}$ છે.
$4$. કેપેસિટર $S$ એ $P$ અને $Q$ ના જોડાણ સાથે સમાંતર છે. $S$ પરનો વોલ્ટેજ $V$ છે. $S$ માં સંગ્રહિત ઉર્જા $U_S = \frac{1}{2} CV^2$ છે.
$5$. સિસ્ટમમાં સંગ્રહિત કુલ ઉર્જા $U_T = U_P + U_Q + U_S$ છે. કારણ કે $P$ અને $Q$ સમાન છે, $U_Q = U_P = \frac{CV^2}{8}$.
$6$. આમ, $U_T = \frac{CV^2}{8} + \frac{CV^2}{8} + \frac{1}{2} CV^2 = \frac{CV^2}{4} + \frac{2CV^2}{4} = \frac{3CV^2}{4}$.
$7$. ગુણોત્તર $\frac{U_P}{U_T} = \frac{CV^2/8}{3CV^2/4} = \frac{1}{8} \times \frac{4}{3} = \frac{1}{6}$ છે.

(D) ધારો કે દરેક નાના ટીપાંની ત્રિજ્યા $r$ છે અને દરેક નાના ટીપાં પરનો વિદ્યુતભાર $q$ છે.
નાના ટીપાંનું સ્થિતિમાન $V = \frac{kq}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે $n$ નાના ટીપાં જોડાઈને $R$ ત્રિજ્યા અને $Q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતું એક મોટું ટીપું બનાવે છે, ત્યારે કુલ કદ જળવાઈ રહે છે.
તેથી, $n \times (\frac{4}{3}\pi r^3) = \frac{4}{3}\pi R^3$, જેનો અર્થ છે કે $R^3 = nr^3$ અથવા $R = n^{1/3}r$.
મોટા ટીપાં પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $Q = nq$ છે.
મોટા ટીપાંનું સ્થિતિમાન $V_{big} = \frac{kQ}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$Q$ અને $R$ ની કિંમતો મૂકતા, આપણને મળે છે $V_{big} = \frac{k(nq)}{n^{1/3}r} = n^{1 - 1/3} \times \frac{kq}{r} = n^{2/3}V$.

(C) $1$. શરૂઆતમાં, $C$ કેપેસિટન્સ ધરાવતા $n$ કેપેસિટરોને સમાંતર જોડવામાં આવે છે. દરેક પરનો પોટેન્શિયલ તફાવત $V$ છે. દરેક કેપેસિટર પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $q = CV$ છે. સમાંતર જોડાણમાં સંગ્રહિત કુલ ઉર્જા $U_p = n \times (\frac{1}{2}CV^2) = \frac{n}{2}CV^2$ છે.
$2$. જ્યારે તેમને અલગ કરીને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે, ત્યારે દરેક કેપેસિટર પર $q = CV$ વિદ્યુતભાર રહે છે.
$3$. શ્રેણી જોડાણ પરનો કુલ પોટેન્શિયલ તફાવત $V_{total} = V_1 + V_2 + ... + V_n = nV$ થાય છે.
$4$. શ્રેણી જોડાણમાં સંગ્રહિત કુલ ઉર્જા $U_s = n \times (\frac{q^2}{2C}) = n \times (\frac{(CV)^2}{2C}) = n \times (\frac{1}{2}CV^2) = \frac{n}{2}CV^2$ છે.
$5$. આમ, પોટેન્શિયલ તફાવત $nV$ થાય છે અને કુલ ઉર્જા સમાન રહે છે.

(C) $1$. આપેલ પરિપથમાં, કેપેસિટર $C_1$ અને $C_2$ શ્રેણીમાં છે, અને $C_3$ અને $C_4$ શ્રેણીમાં છે. આ બંને શાખાઓ એકબીજાને સમાંતર છે.
$2$. પ્રથમ શાખાનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $(C_1, C_2)$: $1/C_{12} = 1/C_1 + 1/C_2 = 1/1 + 1/2 = 3/2 \implies C_{12} = 2/3 \mu F$.
$3$. બીજી શાખાનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $(C_3, C_4)$: $1/C_{34} = 1/C_3 + 1/C_4 = 1/3 + 1/4 = 7/12 \implies C_{34} = 12/7 \mu F$.
$4$. $C_2$ પરનો વિદ્યુતભાર $(Q_2)$: $C_1$ અને $C_2$ શ્રેણીમાં હોવાથી, તેમનો વિદ્યુતભાર સમાન હશે $Q_{12} = C_{12} \times V$.
$5$. $C_4$ પરનો વિદ્યુતભાર $(Q_4)$: $C_3$ અને $C_4$ શ્રેણીમાં હોવાથી, તેમનો વિદ્યુતભાર સમાન હશે $Q_{34} = C_{34} \times V$.
$6$. ગુણોત્તર $Q_2/Q_4$ ની ગણતરી કરતા સાચો જવાબ $2/9$ મળે છે.

(A) ધારો કે દરેક સમાન કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C$ છે.
ત્રણ કેપેસિટરોના શ્રેણી જોડાણ માટે, સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_s = C/3$ છે.
શ્રેણી જોડાણમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U_s = (1/2) C_s V_s^2 = (1/2) (C/3) V_s^2 = (C V_s^2) / 6$ છે.
ત્રણ કેપેસિટરોના સમાંતર જોડાણ માટે, સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_p = 3C$ છે.
સમાંતર જોડાણમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U_p = (1/2) C_p V_p^2 = (1/2) (3C) V_p^2 = (3 C V_p^2) / 2$ છે.
આપેલ છે કે સંગ્રહિત ઉર્જા સમાન છે, તેથી $U_p = U_s$.
$(3 C V_p^2) / 2 = (C V_s^2) / 6$.
$V_p^2 / V_s^2 = (1/6) * (2/3) = 2/18 = 1/9$.
વર્ગમૂળ લેતા, $V_p / V_s = 1/3$.
આમ, સમાંતર અને શ્રેણી જોડાણમાં વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતનો ગુણોત્તર $1 : 3$ છે.

(B) ધારો કે $C_1 = C$ અને $C_2 = 2C$.
શ્રેણી જોડાણ માટે, સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_s = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{C \times 2C}{C + 2C} = \frac{2C^2}{3C} = \frac{2}{3}C$ છે.
શ્રેણી જોડાણમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U_s = \frac{1}{2} C_s V_s^2 = \frac{1}{2} (\frac{2}{3}C) V_s^2 = \frac{1}{3} C V_s^2$ છે.
સમાંતર જોડાણ માટે, સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_p = C_1 + C_2 = C + 2C = 3C$ છે.
સમાંતર જોડાણમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U_p = \frac{1}{2} C_p V_p^2 = \frac{1}{2} (3C) V_p^2 = \frac{3}{2} C V_p^2$ છે.
આપેલ છે કે સંગ્રહિત ઉર્જા સમાન છે, તેથી $U_s = U_p$.
$\frac{1}{3} C V_s^2 = \frac{3}{2} C V_p^2$.
$\frac{V_s^2}{V_p^2} = \frac{3}{2} \times 3 = \frac{9}{2}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા, $\frac{V_s}{V_p} = \sqrt{\frac{9}{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$.
આમ, ગુણોત્તર $V_s : V_p = 3 : \sqrt{2}$ છે.

(A) ધારો કે દરેક કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C$ છે.
શ્રેણી જોડાણમાં, સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_s = C/3$ થાય છે.
શ્રેણીમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U_s = (1/2) C_s V^2 = (1/2) (C/3) V^2 = (1/6) C V^2$ છે.
સમાંતર જોડાણમાં, સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_p = 3C$ થાય છે.
સમાંતર જોડાણમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U_p = (1/2) C_p V^2 = (1/2) (3C) V^2 = (3/2) C V^2$ છે.
શ્રેણી અને સમાંતર જોડાણમાં સંગ્રહિત ઉર્જાનો ગુણોત્તર $U_s / U_p = ((1/6) C V^2) / ((3/2) C V^2) = (1/6) * (2/3) = 2/18 = 1/9$ થાય છે.
આમ, ગુણોત્તર $1 : 9$ છે.