Electric potential and Potential Energy of dipole Questions in Gujarati

(C) બિંદુવત વિદ્યુતભારોના તંત્રની સ્થિતિઊર્જા $U = \sum \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q_i q_j}{r_{ij}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે વિદ્યુતભારો $q_1 = q$ ($x = -a$ પર),$q_2 = q$ ($x = a$ પર) અને $q_3 = -2q$ ($x = 0$ પર) છે.
વિદ્યુતભારો વચ્ચેના અંતર $r_{12} = 2a$,$r_{13} = a$ અને $r_{23} = a$ છે.
કુલ સ્થિતિઊર્જા $U = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{q_1 q_2}{r_{12}} + \frac{q_1 q_3}{r_{13}} + \frac{q_2 q_3}{r_{23}} \right)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $U = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{q \cdot q}{2a} + \frac{q \cdot (-2q)}{a} + \frac{q \cdot (-2q)}{a} \right)$.
$U = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{q^2}{2a} - \frac{2q^2}{a} - \frac{2q^2}{a} \right) = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{q^2 - 4q^2 - 4q^2}{2a} \right)$.
$U = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left( -\frac{7q^2}{2a} \right) = -\frac{7q^2}{8\pi \varepsilon_0 a}$.

(A) $r$ અંતરે રહેલા બે બિંદુવત વિદ્યુતભારો $Q_1$ અને $Q_2$ ના તંત્રની સ્થિતિઊર્જા $U$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $U = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q_1 Q_2}{r}$.
આપેલ છે: $Q_1 = Q_2 = 1\,\mu C = 10^{-6}\,C$,$r = 1\,m$,અને $\frac{1}{4\pi\epsilon_0} = 9 \times 10^9\,N\cdot m^2/C^2$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$U = (9 \times 10^9) \times \frac{(10^{-6}) \times (10^{-6})}{1}$.
$U = 9 \times 10^9 \times 10^{-12} = 9 \times 10^{-3}\,J$.

(A) બિંદુવત વિદ્યુતભારોના તંત્રની સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિ ઊર્જા $U$ એ તમામ વિદ્યુતભારોની જોડીઓની સ્થિતિ ઊર્જાના સરવાળા દ્વારા આપવામાં આવે છે: $U = \sum \frac{k q_i q_j}{r_{ij}}$.
$l$ બાજુવાળા સમબાજુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ પર રહેલા ત્રણ વિદ્યુતભારો $Q, q, q$ ના તંત્ર માટે,જોડીઓ $(Q, q)$,$(Q, q)$ અને $(q, q)$ છે.
કુલ સ્થિતિ ઊર્જા:
$U = \frac{kQq}{l} + \frac{kQq}{l} + \frac{kq^2}{l} = 0$
$\frac{kq}{l}$ સામાન્ય લેતા:
$\frac{kq}{l} (Q + Q + q) = 0$
કારણ કે $\frac{kq}{l} \neq 0$,તેથી:
$2Q + q = 0$
$2Q = -q$
$Q = -\frac{q}{2}$

(B) સ્થિતિ ઊર્જા $U$ એ વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ માં રહેલા વીજભાર $q$ માટે $U = qV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પૃથ્વીને ઋણ વીજભારિત માનવામાં આવે છે,તેથી સપાટી પરનું સ્થિતિમાન $V$ ઋણ હોય છે. જેમ આપણે ઋણ વીજભાર $q$ ને પૃથ્વીથી દૂર ઊંચાઈ પર લઈ જઈએ છીએ,તેમ સ્થિતિમાન $V$ ઓછું ઋણ બને છે (એટલે કે તે શૂન્ય તરફ વધે છે).
ચુંકે $q$ ઋણ છે અને $V$ વધી રહ્યું છે (ઓછું ઋણ બની રહ્યું છે),તેથી $qV$ નું મૂલ્ય વધુ ઋણ બને છે,પરંતુ સંદર્ભ બિંદુની સાપેક્ષમાં પૃથ્વી અને ઋણ વીજભાર વચ્ચેના આકર્ષણ બળની વિરુદ્ધ કાર્ય કરવાને કારણે સ્થિતિ ઊર્જામાં વધારો થાય છે.

(B) $r$ અંતરે રહેલા બે બિંદુવત વિદ્યુતભારો $q_1$ અને $q_2$ ના તંત્રની વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જા $U = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બે ઇલેક્ટ્રોન માટે,$q_1 = -e$ અને $q_2 = -e$ હોવાથી,સ્થિતિઊર્જા $U = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r}$ થાય છે.
જ્યારે એક ઇલેક્ટ્રોનને બીજા ઇલેક્ટ્રોન તરફ ખસેડવામાં આવે છે,ત્યારે તેમની વચ્ચેનું અંતર $r$ ઘટે છે.
$U \propto \frac{1}{r}$ હોવાથી,જેમ અંતર $r$ ઘટે છે,તેમ સ્થિતિઊર્જા $U$ વધે છે.

(A) વિદ્યુતભારોના તંત્રની સ્થિતિઊર્જા $U = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \sum \frac{q_i q_j}{r_{ij}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$C$ પર પ્રારંભિક સ્થિતિઊર્જા $(U_i)$: $q_3$ નું $q_1$ થી અંતર $0.4\,m$ છે અને $q_2$ થી અંતર $0.5\,m$ છે (પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $\sqrt{0.3^2 + 0.4^2} = 0.5\,m$).
$U_i = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{q_1 q_3}{0.4} + \frac{q_2 q_3}{0.5} + \frac{q_1 q_2}{0.3} \right)$.
$D$ પર અંતિમ સ્થિતિઊર્જા $(U_f)$: $q_3$ નું $q_1$ થી અંતર $0.4\,m$ છે અને $q_2$ થી અંતર $0.1\,m$ છે.
$U_f = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{q_1 q_3}{0.4} + \frac{q_2 q_3}{0.1} + \frac{q_1 q_2}{0.3} \right)$.
સ્થિતિઊર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = U_f - U_i = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{q_2 q_3}{0.1} - \frac{q_2 q_3}{0.5} \right) = \frac{q_3}{4\pi \varepsilon_0} \left( 10 q_2 - 2 q_2 \right) = \frac{q_3}{4\pi \varepsilon_0} (8 q_2)$.
આને આપેલ સમીકરણ $\frac{q_3}{4\pi \varepsilon_0} k$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k = 8 q_2$ મળે છે.

(B) ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે આવેલા બિંદુએ વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ નું સૂત્ર $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{p \cos \theta}{r^2}$ છે,જ્યાં $p$ એ ડાયપોલ મોમેન્ટ છે અને $\theta$ એ ડાયપોલ મોમેન્ટ સદિશ અને સ્થાન સદિશ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
ડાયપોલની અક્ષ પરના બિંદુ માટે,$\theta = 0^\circ$ અથવા $180^\circ$ હોય છે,તેથી $\cos \theta = \pm 1$ થાય.
આમ,સ્થિતિમાન $V = \pm \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{p}{r^2}$ મળે છે.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $V \propto \frac{1}{r^2}$.

(D) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં,$p$ ડાયપોલ મોમેન્ટ ધરાવતા વિદ્યુત ડાયપોલની સ્થિતિ ઊર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = -p \cdot E = -pE \cos \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ ડાયપોલ મોમેન્ટ સદિશ $p$ અને વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $E$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
શરૂઆતમાં,ડાયપોલ સ્થાયી સંતુલનમાં છે,જેનો અર્થ છે કે $p$ અને $E$ વચ્ચેનો ખૂણો $0^\circ$ છે.
જ્યારે ડાયપોલને આ પ્રારંભિક સ્થિતિમાંથી $\theta$ ખૂણે ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે ડાયપોલ મોમેન્ટ અને વિદ્યુતક્ષેત્ર વચ્ચેનો નવો ખૂણો $\theta$ બને છે.
તેથી,અંતિમ સ્થિતિમાં વિદ્યુત ડાયપોલની સ્થિતિ ઊર્જા $U = -pE \cos \theta$ થશે.

(A) વિદ્યુત ડાયપોલને કારણે કોઈ બિંદુએ વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ નું સૂત્ર $V = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{P \cos \theta}{r^2}$ છે,જ્યાં $\theta$ એ ડાયપોલ મોમેન્ટ સદિશ $P$ અને બિંદુના સ્થાન સદિશ $r$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
વિષુવવૃત્તીય બિંદુ માટે,સ્થાન સદિશ એ ડાયપોલ મોમેન્ટ સદિશને લંબ હોય છે,તેથી $\theta = 90^\circ$ થાય.
કારણ કે $\cos 90^\circ = 0$ છે,તેથી ડાયપોલના વિષુવવૃત્તીય સમતલ પરના કોઈપણ બિંદુએ વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{P \cos 90^\circ}{r^2} = 0$ થાય છે.

(A) ડાયપોલની અક્ષ પર તેના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે આવેલા બિંદુએ વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{p}{r^2}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,ડાયપોલ મોમેન્ટ $p = q \times d$,જ્યાં $q = 1.6 \times 10^{-19} \, C$ અને $d = 1.28 \times 10^{-10} \, m$ છે.
અંતર $r = 12 \times 10^{-10} \, m$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$V = (9 \times 10^9) \times \frac{(1.6 \times 10^{-19}) \times (1.28 \times 10^{-10})}{(12 \times 10^{-10})^2}$.
$V = (9 \times 10^9) \times \frac{2.048 \times 10^{-29}}{144 \times 10^{-20}}$.
$V = 9 \times \frac{2.048}{144} \times 10^0 = 0.128 \, V \approx 0.13 \, V$.

(D) ડાયપોલ મોમેન્ટ $\vec p$ ધરાવતા વિદ્યુત ડાયપોલને કારણે સ્થાન સદિશ $\vec r$ પરના બિંદુએ વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$V = \frac{1}{{4\pi \epsilon_0}} \frac{{\vec p \cdot \hat r}}{{{r^2}}}$
અહીં $\hat r = \frac{{\vec r}}{r}$ હોવાથી,આપણે તેને સમીકરણમાં મૂકી શકીએ છીએ:
$V = k \frac{{\vec p \cdot \vec r}}{{{r^3}}}$
જ્યાં $k = \frac{1}{{4\pi \epsilon_0}}$ એ કુલંબનો અચળાંક છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં રહેલા વિદ્યુત ડાયપોલની સ્થિતિ ઊર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = -\vec{p} \cdot \vec{E} = -pE \cos \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ ડાયપોલ મોમેન્ટ $\vec{p}$ અને વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
ન્યૂનતમ સ્થિતિ ઊર્જા શોધવા માટે,આપણે $\cos \theta$ ની કિંમત મહત્તમ બનાવવી પડે.
$\cos \theta$ ની મહત્તમ કિંમત $1$ છે,જે $\theta = 0^o$ હોય ત્યારે મળે છે.
સૂત્રમાં $\theta = 0^o$ મૂકતા,આપણને $U_{\min} = -pE \cos(0^o) = -pE$ મળે છે.
તેથી,જ્યારે $\vec{p}$ અને $\vec{E}$ વચ્ચેનો ખૂણો $0$ હોય ત્યારે સ્થિતિ ઊર્જા ન્યૂનતમ હોય છે.

(B) બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્રમાં વિદ્યુત ડાયપોલની સ્થિતિઊર્જા $U = -\vec{p} \cdot \vec{E} = -pE \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્થાયી સંતુલનમાં,ડાયપોલ મોમેન્ટ $\vec{p}$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ ની દિશામાં હોય છે,તેથી $\theta = 0^\circ$ થાય.
આપેલ છે: $q = 3.2 \times 10^{-19} \, C$,$2l = 2.4 \, \mathring{A} = 2.4 \times 10^{-10} \, m$,અને $E = 4 \times 10^5 \, V/m$.
ડાયપોલ મોમેન્ટ $p = q \times 2l = (3.2 \times 10^{-19}) \times (2.4 \times 10^{-10}) = 7.68 \times 10^{-29} \, C \cdot m$.
સ્થિતિઊર્જાના સૂત્રમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$U = -(7.68 \times 10^{-29}) \times (4 \times 10^5) \times \cos(0^\circ)$
$U = -30.72 \times 10^{-24} \, J = -3.072 \times 10^{-23} \, J$.
નજીકની કિંમત લેતા,$U \approx -3 \times 10^{-23} \, J$ મળે છે.

(A) ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે આવેલા બિંદુ $P$ પરનું વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$,જ્યાં સ્થાન સદિશ ડાયપોલની અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે,તે ડાયપોલ મોમેન્ટના $OP$ રેખા પરના ઘટકને ધ્યાનમાં લઈને મેળવવામાં આવે છે.
$OP$ રેખા પર ડાયપોલ મોમેન્ટ $p$ નો ઘટક $p' = p \cos \theta$ છે.
મોટા અંતર $(r \gg 2a)$ માટે,ડાયપોલને બિંદુ ડાયપોલ તરીકે ગણી શકાય. આ ઘટકને કારણે મળતું સ્થિતિમાન નીચે મુજબ છે:
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{p \cos \theta}{r^2}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) ડાઈપોલ મોમેન્ટ $\vec{P}$ ધરાવતા વિદ્યુત ડાઈપોલને લીધે તેના કેન્દ્રથી $\vec{r}$ સ્થાન સદિશ ધરાવતા બિંદુ આગળ વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{P} \cdot \hat{r}}{r^2}$
અહીં એકમ સદિશ $\hat{r} = \frac{\vec{r}}{r}$ હોવાથી,આપણે તેને સમીકરણમાં મૂકી શકીએ:
$V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{P} \cdot \vec{r}}{r^3}$
અચળાંક $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$ લેતા,અભિવ્યક્તિ નીચે મુજબ બને છે:
$V = k \frac{\vec{P} \cdot \vec{r}}{r^3}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) $r$ અંતરે રહેલા બે બિંદુવત વિદ્યુતભારો $q_1$ અને $q_2$ ના તંત્રની સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિ ઊર્જા $(U)$ નું સૂત્ર $U = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r}$ છે.
બે ઇલેક્ટ્રોન માટે,$q_1 = -e$ અને $q_2 = -e$ હોવાથી,$U = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{e^2}{r}$ થાય.
અહીં બંને વિદ્યુતભારો ઋણ હોવાથી,તેમનો ગુણાકાર $q_1 q_2$ ધન મળે છે,તેથી $U$ ધન છે.
જ્યારે બે ઇલેક્ટ્રોન એકબીજાની નજીક ગતિ કરે છે,ત્યારે તેમની વચ્ચેનું અંતર $r$ ઘટે છે.
સૂત્ર $U \propto \frac{1}{r}$ મુજબ,જેમ $r$ ઘટે તેમ સ્થિતિ ઊર્જા $U$ વધે છે.

(A) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec E$ માં રહેલા વિદ્યુત ડાઈપોલની સ્થિતિ ઊર્જા $U$ નું સૂત્ર: $U = -\vec p \cdot \vec E = -pE \cos \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ ડાઈપોલ મોમેન્ટ $\vec p$ અને વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec E$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
સ્થિતિ ઊર્જા ન્યૂનત્તમ હોવા માટે,$\cos \theta$ નું મૂલ્ય મહત્તમ હોવું જોઈએ.
$\cos \theta$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $1$ છે,જે $\theta = 0^\circ$ હોય ત્યારે મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે ડાઈપોલ મોમેન્ટ $\vec p$ અને વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec E$ એક જ દિશામાં હોવા જોઈએ.

(D) વિદ્યુતક્ષેત્રમાં વિદ્યુત ડાઇપોલને પ્રારંભિક ખૂણા $\theta_1$ થી અંતિમ ખૂણા $\theta_2$ સુધી ફેરવવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $W = pE(\cos\theta_1 - \cos\theta_2)$.
અહીં આપેલ છે કે ડાઇપોલ શરૂઆતમાં ક્ષેત્રને સમાંતર છે,તેથી પ્રારંભિક ખૂણો $\theta_1 = 0^{\circ}$ છે.
અંતિમ ખૂણો $\theta_2 = 180^{\circ}$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$W = pE(\cos 0^{\circ} - \cos 180^{\circ})$
$W = pE(1 - (-1))$
$W = pE(1 + 1)$
$W = 2pE$.
તેથી,બાહ્ય બળ દ્વારા કરવામાં આવતું કાર્ય $2pE$ છે.

(B) $r$ અંતરે રહેલા બે બિંદુવત વિદ્યુતભારો $q_1$ અને $q_2$ ના તંત્રની સ્થિતિઊર્જા $U$ નું સૂત્ર: $U = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r}$ છે.
આપેલ છે: $q_1 = q_2 = -2 \, \mu C = -2 \times 10^{-6} \, C$,$r = 1 \, m$,અને $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} = 9 \times 10^9 \, N \cdot m^2/C^2$.
કિંમતો મૂકતા:
$U = \frac{(9 \times 10^9) \times (-2 \times 10^{-6}) \times (-2 \times 10^{-6})}{1}$
$U = 9 \times 10^9 \times 4 \times 10^{-12}$
$U = 36 \times 10^{-3} \, J = 3.6 \times 10^{-2} \, J$.

(B) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં વિદ્યુત ડાઈપોલને $\theta_1$ ખૂણેથી $\theta_2$ ખૂણે ભ્રમણ કરાવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$W = pE(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$
અહીં,પ્રારંભિક સ્થિતિ એ સંતુલન સ્થિતિ છે,તેથી $\theta_1 = 0^\circ$.
અંતિમ સ્થિતિ $\theta_2 = 90^\circ$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$W = pE(\cos 0^\circ - \cos 90^\circ)$
કારણ કે $\cos 0^\circ = 1$ અને $\cos 90^\circ = 0$ હોવાથી:
$W = pE(1 - 0) = pE$
તેથી,કરવું પડતું કાર્ય $pE$ છે.

(C) વિદ્યુતભારોના તંત્રની સ્થિતિ ઊર્જા $U = \sum \frac{k q_i q_j}{r_{ij}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ ગોઠવણી માટે ($-q, q, -q$ જેમાં નજીકના વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું અંતર $r$ છે):
$U_1 = \frac{k(-q)(q)}{r} + \frac{k(q)(-q)}{r} + \frac{k(-q)(-q)}{2r} = -\frac{kq^2}{r} - \frac{kq^2}{r} + \frac{kq^2}{2r} = -\frac{2kq^2}{r} + \frac{kq^2}{2r} = -\frac{3kq^2}{2r}$.
બીજી ગોઠવણી માટે ($-q, -q, q$ જેમાં નજીકના વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું અંતર $r$ છે):
$U_2 = \frac{k(-q)(-q)}{r} + \frac{k(-q)(q)}{r} + \frac{k(-q)(q)}{2r} = \frac{kq^2}{r} - \frac{kq^2}{r} - \frac{kq^2}{2r} = -\frac{kq^2}{2r}$.
તેથી,ગુણોત્તર:
$\frac{U_1}{U_2} = \frac{-3kq^2 / 2r}{-kq^2 / 2r} = 3$.

(B) બિંદુવત વિદ્યુતભારોના તંત્રની સ્થિત વિદ્યુત સ્થિતિ ઊર્જા $(U)$ એ તમામ વિદ્યુતભારની જોડીઓની સ્થિતિ ઊર્જાના સરવાળા જેટલી હોય છે: $U = \sum \frac{k q_i q_j}{r_{ij}}$.
આપેલ તંત્ર માટે,$a, a$ બાજુઓ અને $\sqrt{2}a$ કર્ણ ધરાવતા કાટકોણ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ પર $Q, +q, +q$ વિદ્યુતભારો છે.
જોડીઓ આ મુજબ છે: $a$ અંતરે $(Q, q)$,$a$ અંતરે $(Q, q)$ અને $\sqrt{2}a$ અંતરે $(q, q)$.
કુલ સ્થિતિ ઊર્જા શૂન્ય લેતા:
$U = \frac{kQq}{a} + \frac{kQq}{a} + \frac{kq^2}{\sqrt{2}a} = 0$
$\frac{k}{a} [2Qq + \frac{q^2}{\sqrt{2}}] = 0$
$2Qq = -\frac{q^2}{\sqrt{2}}$
$Q = -\frac{q}{2\sqrt{2}} = -\frac{q\sqrt{2}}{4}$
વિકલ્પો મુજબ સાદું રૂપ આપતા:
$Q = -\frac{q}{2(1 + 1/\sqrt{2})} = -\frac{q}{2 + \sqrt{2}}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) $r$ અંતરે રહેલા બે બિંદુવત વિદ્યુતભારો $Q_1$ અને $Q_2$ ના તંત્રની સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જા $U = k \frac{Q_1 Q_2}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ કુલંબનો અચળાંક છે.
જો વિદ્યુતભારો સમાન પ્રકારના હોય $(Q_1 Q_2 > 0)$,તો $U$ ધન હોય છે. જેમ $r$ વધે તેમ $U$ ઘટે છે.
જો વિદ્યુતભારો વિરુદ્ધ પ્રકારના હોય $(Q_1 Q_2 < 0)$,તો $U$ ઋણ હોય છે. જેમ $r$ વધે તેમ $U$ નું મૂલ્ય ઘટે છે,જેનો અર્થ છે કે $U$ ઓછું ઋણ બને છે (એટલે કે તે શૂન્યની નજીક વધે છે).
તેથી,વિદ્યુતભારોના પ્રકારના આધારે સ્થિતિઊર્જા વધી શકે અથવા ઘટી શકે છે.

(B) બિંદુવત વિદ્યુતભારોના તંત્રની કુલ વિદ્યુતસ્થિતિઊર્જા $U$ એ તમામ જોડીઓની સ્થિતિઊર્જાના સરવાળા જેટલી હોય છે: $U = \sum \frac{k q_i q_j}{r_{ij}}$.
આપેલ તંત્ર માટે,વિદ્યુતભારો વચ્ચેના અંતર $a$,$a$ અને $a\sqrt{2}$ છે.
સ્થિતિઊર્જા $U = \frac{kQq}{a} + \frac{kQq}{a\sqrt{2}} + \frac{kq^2}{a} = 0$.
$k/a$ વડે ભાગતા,$Q(1 + \frac{1}{\sqrt{2}}) + q = 0$ મળે.
$Q(\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}}) = -q$.
તેથી,$Q = -\frac{\sqrt{2}q}{\sqrt{2}+1}$.

(A) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ માં $\vec{p}$ ડાયપોલ મોમેન્ટ ધરાવતા વિદ્યુત ડાયપોલને પ્રારંભિક ખૂણા $\theta_1$ થી અંતિમ ખૂણા $\theta_2$ સુધી ફેરવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$W = \int_{\theta_1}^{\theta_2} pE \sin \theta \, d\theta = pE (\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$
અહીં ડાયપોલ શરૂઆતમાં વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં છે,તેથી પ્રારંભિક ખૂણો $\theta_1 = 0^{\circ}$ છે.
અંતિમ ખૂણો $\theta_2 = 90^{\circ}$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$W = pE (\cos 0^{\circ} - \cos 90^{\circ})$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos 0^{\circ} = 1$ અને $\cos 90^{\circ} = 0$,તેથી:
$W = pE (1 - 0) = pE$.

(A) વિદ્યુત ક્ષેત્રમાં ડાયપોલની સ્થિતિ ઉર્જા $U = -\vec{p} \cdot \vec{E} = -p E \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,ડાયપોલ ક્ષેત્ર સાથે સંરેખિત છે,તેથી $\theta_1 = 0^{\circ}$.
ક્ષેત્રની દિશા $60^{\circ}$ બદલાયા પછી,નવો ખૂણો $\theta_2 = 60^{\circ}$ થાય છે.
એક અણુ પર ક્ષેત્ર દ્વારા થયેલું કાર્ય $W_{molecule} = -\Delta U = -(U_2 - U_1) = -(-p E \cos 60^{\circ} - (-p E \cos 0^{\circ}))$ છે.
$W_{molecule} = p E (\cos 60^{\circ} - \cos 0^{\circ}) = p E (\frac{1}{2} - 1) = -\frac{1}{2} p E$.
જોકે,ક્ષેત્ર દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય એ સ્થિતિ ઉર્જામાં થતા ફેરફારનું ઋણ મૂલ્ય છે. $N$ અણુઓ ધરાવતા એક મોલ પદાર્થ માટે,કુલ કાર્ય $W = N \times |\Delta U| = N p E (\cos 0^{\circ} - \cos 60^{\circ}) = N p E (1 - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} N p E$ થાય છે.

(D) વિદ્યુતભારોના તંત્રની સ્થિત વિદ્યુત સ્થિતિ ઊર્જા $U = \sum \frac{k q_i q_j}{r_{ij}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ ઘનમાં,$8$ વિદ્યુતભારો શિરોબિંદુઓ પર અને $1$ વિદ્યુતભાર $q$ કેન્દ્ર પર છે.
ધારો કે ઘનની બાજુની લંબાઈ $a$ છે.
$1$. શિરોબિંદુઓ પરના વિદ્યુતભારો વચ્ચેની આંતરક્રિયા: અહીં $a$ લંબાઈની $12$ ધાર,$\sqrt{2}a$ લંબાઈના $12$ ફલક વિકર્ણ અને $\sqrt{3}a$ લંબાઈના $4$ મુખ્ય વિકર્ણ છે.
$2$. કેન્દ્ર પરના વિદ્યુતભાર $q$ અને $8$ શિરોબિંદુઓ પરના વિદ્યુતભારો વચ્ચેની આંતરક્રિયા: દરેક શિરોબિંદુ પરનો વિદ્યુતભાર કેન્દ્રથી $\frac{\sqrt{3}a}{2}$ અંતરે છે.
શિરોબિંદુઓ પરના વિદ્યુતભારોની ગોઠવણી ($4$ વિદ્યુતભાર $+Q$ અને $4$ વિદ્યુતભાર $-Q$) જોતા,કુલ સ્થિતિ ઊર્જાની ગણતરીમાં તમામ જોડીઓની આંતરક્રિયાનો સરવાળો કરવામાં આવે છે.
શિરોબિંદુઓ પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $4Q - 4Q = 0$ હોવાથી અને ગોઠવણીની સંમિતિને કારણે,અંતિમ પદ $q$ ના મૂલ્ય પર આધાર રાખે છે. તેથી,તંત્રની કુલ સ્થિત વિદ્યુત સ્થિતિ ઊર્જા $q$ ના ચિહ્ન અને મૂલ્ય પર આધાર રાખે છે.

(C) બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્રમાં ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલની સ્થિતિ ઊર્જા $ U = -\vec{p} \cdot \vec{E} $ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ડાયપોલને ધીમેથી ફેરવવા માટે બાહ્ય એજન્ટ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય એ સ્થિતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $ W = U_f - U_i $.
પ્રારંભિક સ્થિતિ ઊર્જા $ U_i = -\vec{p}_i \cdot \vec{E} = -[(3\hat{i} + 4\hat{j}) \times 10^{-30}] \cdot [4000 \hat{i}] = -(3 \times 4000) \times 10^{-30} \, \text{J} = -12 \times 10^{-27} \, \text{J} $.
અંતિમ સ્થિતિ ઊર્જા $ U_f = -\vec{p}_f \cdot \vec{E} = -[(-4\hat{i} + 3\hat{j}) \times 10^{-30}] \cdot [4000 \hat{i}] = -(-4 \times 4000) \times 10^{-30} \, \text{J} = 16 \times 10^{-27} \, \text{J} $.
કરવામાં આવેલ કાર્ય $ W = U_f - U_i = (16 \times 10^{-27}) - (-12 \times 10^{-27}) = 28 \times 10^{-27} \, \text{J} = 2.8 \times 10^{-26} \, \text{J} $.

(A) વિદ્યુતભાર રહિત સુવાહક ગોળા માટે,કુલ વિદ્યુતભાર શૂન્ય હોય છે. જ્યારે તેને બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્રમાં (ડાયપોલને કારણે) મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે સપાટી પરના પ્રેરિત વિદ્યુતભારો એવી રીતે પુનઃવિતરિત થાય છે કે સુવાહકની સપાટી પરના દરેક બિંદુએ સ્થિતિમાન સમાન રહે છે અને તે ગોળાના કેન્દ્ર પરના સ્થિતિમાન જેટલું હોય છે.
ડાયપોલને કારણે ગોળાના કેન્દ્ર પરનું સ્થિતિમાન $V_{\text{center}} = \frac{kp \cos \theta}{d^2}$ છે,જ્યાં $d$ એ ડાયપોલથી કેન્દ્રનું અંતર છે અને $\theta$ એ ડાયપોલ મોમેન્ટ અને કેન્દ્રના સ્થાન સદિશ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આકૃતિમાં આપેલી ભૂમિતિ મુજબ,બિંદુ $A$ પરનું સ્થિતિમાન એ ડાયપોલને કારણે ઉદ્ભવતું સ્થિતિમાન અને ગોળા પરના પ્રેરિત વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે. ગોળો વિદ્યુતભાર રહિત અને અલગ હોવાથી,કેન્દ્ર પર પ્રેરિત વિદ્યુતભારોને કારણે કુલ સ્થિતિમાન શૂન્ય થાય છે. આમ,સપાટી પરનું સ્થિતિમાન એ ગોળાના કેન્દ્ર પર ડાયપોલને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાન જેટલું હોય છે. આપેલી ભૂમિતિ મુજબ,ડાયપોલથી બિંદુ $A$ નું અંતર $r$ છે,તેથી સ્થિતિમાન $V = \frac{kp \cos \phi}{r^2}$ થાય છે.

(D) બાહ્ય બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $W_{ext} = U_f - U_i$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આકૃતિ $(1)$ માં,વિદ્યુતભારો $a$ બાજુવાળા ચોરસના ખૂણાઓ પર છે. સ્થિતિઊર્જા $U_i$ એ તમામ જોડીઓની સ્થિતિઊર્જાનો સરવાળો છે:
$U_i = 4 \times \frac{kq^2}{a} + 2 \times \frac{kq^2}{a\sqrt{2}} = \frac{kq^2}{a}(4 + \sqrt{2})$.
આકૃતિ $(2)$ માં,વિદ્યુતભારો $a$ ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળમાં અંતર્ગત ચોરસના ખૂણાઓ પર છે. પાસપાસેના વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું અંતર $a\sqrt{2}$ છે અને સામસામેના વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું અંતર $2a$ છે. સ્થિતિઊર્જા $U_f$ છે:
$U_f = 4 \times \frac{kq^2}{a\sqrt{2}} + 2 \times \frac{kq^2}{2a} = \frac{kq^2}{a}(2\sqrt{2} + 1)$.
હવે,કરવામાં આવેલ કાર્યની ગણતરી કરો:
$W_{ext} = U_f - U_i = \frac{kq^2}{a} [(2\sqrt{2} + 1) - (4 + \sqrt{2})]$
$W_{ext} = \frac{kq^2}{a} (\sqrt{2} - 3) = -\frac{kq^2}{a} (3 - \sqrt{2})$.

(A) અનંત લંબાઈના રેખીય વીજભાર ઘનતા $\lambda$ ધરાવતા તારથી $r$ અંતરે વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = -2k\lambda \ln(r) + C$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$ છે.
ત્રણ રેખીય વીજભારો $\lambda_1 = \lambda$,$\lambda_2 = \lambda$ અને $\lambda_3 = -2\lambda$ માટે,કુલ સ્થિતિમાન $V$ એ વ્યક્તિગત સ્થિતિમાનોનો સરવાળો છે:
$V = -2k\lambda \ln(r_1) - 2k\lambda \ln(r_2) - 2k(-2\lambda) \ln(r_3) + C'$
$V = -2k\lambda [\ln(r_1) + \ln(r_2) - 2\ln(r_3)] + C'$
$V = -2k\lambda [\ln(r_1 r_2) - \ln(r_3^2)] + C'$
$V = -2k\lambda \ln\left(\frac{r_1 r_2}{r_3^2}\right) + C'$
સમાન સ્થિતિમાન ધરાવતા બિંદુઓ માટે,$V$ અચળ હોવું જોઈએ. તેથી,$\ln\left(\frac{r_1 r_2}{r_3^2}\right)$ અચળ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $\frac{r_1 r_2}{r_3^2} = \text{અચળ}$.

(C) તંત્રમાં કેન્દ્ર પર બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$,કવચની અંદરની સપાટી (ત્રિજ્યા $a$) પર પ્રેરિત વિદ્યુતભાર $-q$ અને બહારની સપાટી (ત્રિજ્યા $b$) પર પ્રેરિત વિદ્યુતભાર $+q$ નો સમાવેશ થાય છે.
કુલ સ્થિતિઊર્જા $U$ એ વિદ્યુતભારોની સ્વ-ઊર્જા અને તેમની આંતરક્રિયા ઊર્જાનો સરવાળો છે.
$U = U_{\text{self}} + U_{\text{interaction}}$
$U = \left( \frac{kq^2}{2a} + \frac{kq^2}{2b} \right) + \left( \frac{k(q)(-q)}{a} + \frac{k(q)(q)}{b} + \frac{k(-q)(q)}{b} \right)$
$U = \frac{kq^2}{2a} + \frac{kq^2}{2b} - \frac{kq^2}{a} + \frac{kq^2}{b} - \frac{kq^2}{b}$
$U = \frac{kq^2}{2b} - \frac{kq^2}{2a}$

(A) ડાયપોલને કારણે કોઈ બિંદુ $(r, \theta)$ પર વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V = \frac{kp \cos \theta}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k = 9 \times 10^9 \, N \cdot m^2/C^2$.
બિંદુ $P$ માટે: $r_P = 1 \times 10^{-2} \, m$,$\theta_P = 45^{\circ}$.
$V_P = \frac{kp \cos 45^{\circ}}{r_P^2} = \frac{(9 \times 10^9)(2 \times 10^{-6})(\frac{1}{\sqrt{2}})}{(10^{-2})^2} = \frac{18 \times 10^7}{\sqrt{2}} \, V$.
બિંદુ $S$ માટે: $r_S = 2 \times 10^{-2} \, m$,$\theta_S = 135^{\circ}$.
$V_S = \frac{kp \cos 135^{\circ}}{r_S^2} = \frac{(9 \times 10^9)(2 \times 10^{-6})(-\frac{1}{\sqrt{2}})}{(2 \times 10^{-2})^2} = \frac{-18 \times 10^7}{4\sqrt{2}} \, V$.
વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા થયેલ કાર્ય $W = -q(V_S - V_P) = q(V_P - V_S)$.
$W = (\frac{4\sqrt{2}}{27} \times 10^{-6}) \left[ \frac{18 \times 10^7}{\sqrt{2}} - (-\frac{18 \times 10^7}{4\sqrt{2}}) \right] = \frac{100}{3} \, J$.

(A) ડાયપોલની અક્ષ પરના બિંદુએ વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V = \frac{kp \cos \theta}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. બિંદુ બંને ડાયપોલની અક્ષ પર હોવાથી,$\theta = 0^\circ$ અથવા $180^\circ$ થશે.
ધારો કે બિંદુ ડાયપોલ $A$ થી $x$ અંતરે છે. તો ડાયપોલ $B$ થી તેનું અંતર $(R - x)$ થશે.
આ બિંદુએ ડાયપોલ $A$ ને કારણે સ્થિતિમાન $V_A = \frac{k(4qa)}{x^2}$ (મૂલ્ય લેતા).
આ બિંદુએ ડાયપોલ $B$ ને કારણે સ્થિતિમાન $V_B = \frac{k(2qa)}{(R - x)^2}$.
સ્થિતિમાનને સરખાવતા:
$\frac{k(4qa)}{x^2} = \frac{k(2qa)}{(R - x)^2}$
$\frac{2}{x^2} = \frac{1}{(R - x)^2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{\sqrt{2}}{x} = \frac{1}{R - x}$
$\sqrt{2}(R - x) = x$
$\sqrt{2}R - \sqrt{2}x = x$
$\sqrt{2}R = x(1 + \sqrt{2})$
$x = \frac{\sqrt{2}R}{\sqrt{2} + 1}$

(C) વિદ્યુતભારોના તંત્રની સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જા $U = \sum \frac{k q_i q_j}{r_{ij}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ ગોઠવણી માટે,વિદ્યુતભારો વચ્ચેના અંતર $a, a$ અને $a\sqrt{2}$ છે.
કુલ સ્થિતિઊર્જા $U_{\text{total}}$:
$U_{\text{total}} = \frac{kQq}{a} + \frac{kQq}{a\sqrt{2}} + \frac{kq^2}{a\sqrt{2}} = 0$
$\frac{kq}{a} [Q + \frac{Q}{\sqrt{2}} + \frac{q}{\sqrt{2}}] = 0$
$Q(1 + \frac{1}{\sqrt{2}}) = -\frac{q}{\sqrt{2}}$
$Q(\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}}) = -\frac{q}{\sqrt{2}}$
$Q = \frac{-q}{\sqrt{2}+1}$

(B) બે બિંદુવત વિદ્યુતભારો $Q_1$ અને $Q_2$ વચ્ચે $r$ અંતરે રહેલા તંત્રની વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જા $(U)$ નું સૂત્ર $U = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q_1 Q_2}{r}$ છે.
$1$. સમાન વિદ્યુતભારો માટે (દા.ત.,બે પ્રોટોન અથવા બે ઇલેક્ટ્રોન),$Q_1 Q_2 > 0$ થાય. જેમ અંતર $r$ ઘટે તેમ છેદ ઘટવાથી સ્થિતિઊર્જા $U$ વધે છે.
$2$. અસમાન વિદ્યુતભારો માટે (દા.ત.,પ્રોટોન અને ઇલેક્ટ્રોન),$Q_1 Q_2 < 0$ થાય. જેમ અંતર $r$ ઘટે તેમ ઋણ સ્થિતિઊર્જાનું મૂલ્ય વધે છે,જેનો અર્થ છે કે સ્થિતિઊર્જા $U$ ઘટે છે.
$3$. તેનાથી વિપરીત,અસમાન વિદ્યુતભારો માટે,જો અંતર $r$ વધારવામાં આવે,તો સ્થિતિઊર્જા $U$ વધે છે (ઓછી ઋણ બને છે).
વિકલ્પોનું મૂલ્યાંકન:
- વિકલ્પ $A$: સમાન વિદ્યુતભારો,$r$ ઘટે $\rightarrow$ $U$ વધે. (સાચું વિધાન)
- વિકલ્પ $B$: અસમાન વિદ્યુતભારો,$r$ ઘટે $\rightarrow$ $U$ ઘટે. (ખોટું વિધાન)
- વિકલ્પ $C$: અસમાન વિદ્યુતભારો,$r$ વધે $\rightarrow$ $U$ વધે. (સાચું વિધાન)
- વિકલ્પ $D$: સમાન વિદ્યુતભારો,$r$ ઘટે $\rightarrow$ $U$ વધે. (સાચું વિધાન)
તેથી,ખોટું વિધાન $B$ છે.

(B) વિદ્યુતભારોના તંત્રને ગોઠવવા માટે જરૂરી કાર્ય એ તંત્રની સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જા $U$ જેટલું હોય છે.
સ્થિતિઊર્જા એ તમામ વિદ્યુતભારોની જોડીઓની સ્થિતિઊર્જાના સરવાળા દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$U = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \sum_{i < j} \frac{q_i q_j}{r_{ij}}$
આપેલ ચોરસ ગોઠવણી માટે, જ્યાં ખૂણા $1$, $2$, $3$ અને $4$ પર અનુક્રમે $q_1 = +q$, $q_2 = -q$, $q_3 = +q$, અને $q_4 = -q$ વિદ્યુતભારો છે:
- $a$ લંબાઈની ચાર બાજુઓ: જોડીઓ $(1,2), (2,3), (3,4), (4,1)$.
- $a\sqrt{2}$ લંબાઈના બે વિકર્ણો: જોડીઓ $(1,3), (2,4)$.
ઊર્જાની ગણતરી:
$U = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left[ \frac{(+q)(-q)}{a} + \frac{(-q)(+q)}{a} + \frac{(+q)(-q)}{a} + \frac{(-q)(+q)}{a} + \frac{(+q)(+q)}{a\sqrt{2}} + \frac{(-q)(-q)}{a\sqrt{2}} \right]$
$U = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left[ -\frac{q^2}{a} - \frac{q^2}{a} - \frac{q^2}{a} - \frac{q^2}{a} + \frac{q^2}{a\sqrt{2}} + \frac{q^2}{a\sqrt{2}} \right]$
$U = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left[ -\frac{4q^2}{a} + \frac{2q^2}{a\sqrt{2}} \right]$
$U = \frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 a} [ -4 + \sqrt{2} ]$
કારણ કે $\sqrt{2} \approx 1.414$, તેથી કિંમત $-4 + 1.414 = -2.586 \approx -2.6$ થાય.
આમ, $U = -\frac{2.6}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q^2}{a}$.

(B) આપેલ છે,એક અણુની ડાયપોલ મોમેન્ટ,$p_{molecule} = 10^{-29} \; C \; m$.
$1$ મોલમાં અણુઓની સંખ્યા $N = 6 \times 10^{23}$ છે.
નમૂનાની કુલ ડાયપોલ મોમેન્ટ,$p = N \times p_{molecule} = 6 \times 10^{23} \times 10^{-29} = 6 \times 10^{-6} \; C \; m$.
વિદ્યુત ક્ષેત્રમાં ડાયપોલની સ્થિતિ ઉર્જા $U = -p E \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\theta = 0^{\circ}$ પર પ્રારંભિક સ્થિતિ ઉર્જા $(U_i)$:
$U_i = -p E \cos 0^{\circ} = -(6 \times 10^{-6}) \times 10^{6} \times 1 = -6 \; J$.
$\theta = 60^{\circ}$ પર અંતિમ સ્થિતિ ઉર્જા $(U_f)$:
$U_f = -p E \cos 60^{\circ} = -(6 \times 10^{-6}) \times 10^{6} \times 0.5 = -3 \; J$.
સ્થિતિ ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = U_f - U_i = -3 \; J - (-6 \; J) = 3 \; J$.
સિસ્ટમ નવી દિશામાં ગોઠવાવા માટે ઉર્જા મુક્ત કરે છે,તેથી મુક્ત થતી ઉષ્મા સ્થિતિ ઉર્જામાં થયેલા ઘટાડા જેટલી એટલે કે $3 \; J$ છે.

(A) આ તંત્ર બે પ્રોટોન $(q_1 = q_2 = +e)$ અને એક ઇલેક્ટ્રોન $(q_3 = -e)$ નું બનેલું છે.
બિંદુવત વિદ્યુતભારોના તંત્રની સ્થિતિઊર્જા $V$ એ તમામ જોડીઓની સ્થિતિઊર્જાના સરવાળા દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$V = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{q_1 q_2}{d_1} + \frac{q_1 q_3}{d_2} + \frac{q_2 q_3}{d_3} \right)$
આપેલ છે:
$q_1 = q_2 = 1.6 \times 10^{-19} \; C$
$q_3 = -1.6 \times 10^{-19} \; C$
$d_1 = 1.5 \times 10^{-10} \; m$
$d_2 = d_3 = 1.0 \times 10^{-10} \; m$
કિંમતો મૂકતા:
$V = (9 \times 10^9) \left[ \frac{(1.6 \times 10^{-19})^2}{1.5 \times 10^{-10}} - \frac{(1.6 \times 10^{-19})^2}{1.0 \times 10^{-10}} - \frac{(1.6 \times 10^{-19})^2}{1.0 \times 10^{-10}} \right]$
$V = (9 \times 10^9) \times (1.6 \times 10^{-19})^2 \left[ \frac{1}{1.5} - 1 - 1 \right] \; J$
$V = (9 \times 10^9) \times (2.56 \times 10^{-38}) \left[ \frac{1 - 3}{1.5} \right] \; J$
$V = 23.04 \times 10^{-29} \times \left( -\frac{2}{1.5} \right) \; J$
$V = -30.72 \times 10^{-19} \; J$
$eV$ માં રૂપાંતરિત કરવા માટે, $1.6 \times 10^{-19} \; J/eV$ વડે ભાગતા:
$V = \frac{-30.72 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} \; eV = -19.2 \; eV.$
સ્થિતિઊર્જાનું શૂન્ય અનંત અંતરે પસંદ કરવામાં આવ્યું છે.

(A) $(0,0, z)$ બિંદુ માટે,સ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \left( \frac{q}{z-a} - \frac{q}{z+a} \right) = \frac{2qa}{4 \pi \epsilon_{0}(z^2 - a^2)} = \frac{p}{4 \pi \epsilon_{0}(z^2 - a^2)}$ છે. $(x, y, 0)$ બિંદુ માટે,બંને વિદ્યુતભારોથી અંતર સમાન હોવાથી,$V = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} (\frac{q}{r_1} - \frac{q}{r_1}) = 0$ થાય.
$(b)$ $r >> a$ માટે,ડાયપોલનું સ્થિતિમાન $V = \frac{p \cos \theta}{4 \pi \epsilon_{0} r^2}$ છે. આમ,$V \propto \frac{1}{r^2}$.
$(c)$ કરેલું કાર્ય $W = q_0(V_f - V_i)$ છે. બંને બિંદુઓ $(5,0,0)$ અને $(-7,0,0)$ એ વિષુવવૃત્તીય સમતલ પર આવેલા હોવાથી,બંને બિંદુઓ પર સ્થિતિમાન $0$ છે. તેથી,$W = q_0(0 - 0) = 0$. સ્થિત વિદ્યુત બળ સંરક્ષી હોવાથી કરેલું કાર્ય માર્ગ પર આધારિત નથી.

(N/A) સ્થિતવિદ્યુત સ્થિતિઊર્જાનો $SI$ એકમ જૂલ $(J)$ છે.
સ્થિતવિદ્યુત સ્થિતિઊર્જા એ ઊર્જાનું એક સ્વરૂપ છે, અને ઊર્જાનું પારિમાણિક સૂત્ર કાર્ય પરથી મેળવવામાં આવે છે, જે $\text{બળ } \times \text{સ્થાનાંતર}$ છે.
બળનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1 L^1 T^{-2}]$ છે અને સ્થાનાંતરનું $[L^1]$ છે.
તેથી, ઊર્જાનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1 L^1 T^{-2}] \times [L^1] = [M^1 L^2 T^{-2}]$ થાય છે.

(N/A) ધારો કે એક વિદ્યુત ડાયપોલ $+q$ અને $-q$ વિદ્યુતભારો ધરાવે છે જે $2a$ અંતરે અલગ થયેલા છે. ધારો કે $O$ એ ડાયપોલનું મધ્યબિંદુ છે. આપણે $O$ થી $r$ અંતરે આવેલા બિંદુ $P$ પર વિદ્યુત સ્થિતિમાન શોધવું છે,જ્યાં રેખા $OP$ એ ડાયપોલની અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે.
ધારો કે $r_1$ એ બિંદુ $P$ નું $+q$ વિદ્યુતભારથી અંતર છે અને $r_2$ એ બિંદુ $P$ નું $-q$ વિદ્યુતભારથી અંતર છે.
ડાયપોલને કારણે બિંદુ $P$ પરનું કુલ વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ એ વ્યક્તિગત વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો બેઝિક સરવાળો છે:
$V = V_1 + V_2 = \frac{kq}{r_1} - \frac{kq}{r_2} = kq \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right)$
ડાયપોલ અને બિંદુ $P$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણમાં કોસાઇનનો નિયમ વાપરતા:
$r_1^2 = r^2 + a^2 - 2ar \cos \theta$
$r_2^2 = r^2 + a^2 + 2ar \cos \theta$
જ્યારે $r \gg a$ હોય,ત્યારે દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરીને $r_1$ અને $r_2$ નું આશરે મૂલ્ય મેળવી શકાય:
$r_1 \approx r - a \cos \theta$
$r_2 \approx r + a \cos \theta$
આ કિંમતોને સ્થિતિમાનના સૂત્રમાં મૂકતા:
$V = kq \left( \frac{1}{r - a \cos \theta} - \frac{1}{r + a \cos \theta} \right) = kq \left( \frac{r + a \cos \theta - (r - a \cos \theta)}{r^2 - a^2 \cos^2 \theta} \right)$
$V = \frac{kq(2a \cos \theta)}{r^2} = \frac{kp \cos \theta}{r^2}$,જ્યાં $p = 2aq$ એ ડાયપોલ મોમેન્ટ છે.

(N/A) ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલને કારણે કોઈ બિંદુએ ઇલેક્ટ્રિક પોટેન્શિયલ $V$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે: $V = k \left( \frac{\vec{p} \cdot \hat{r}}{r^2} \right) = \frac{k p \cos \theta}{r^2}$,જ્યાં $k = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}$,$\vec{p}$ એ ડાયપોલ મોમેન્ટ છે અને $\theta$ એ સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અને ડાયપોલ મોમેન્ટ $\vec{p}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
મહત્વની લાક્ષણિકતાઓ:
$(i)$ ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલને કારણે પોટેન્શિયલ એ બિંદુના સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અને ડાયપોલ મોમેન્ટ $\vec{p}$ વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ પર આધાર રાખે છે.
$(ii)$ ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલનું પોટેન્શિયલ અંતર સાથે $\frac{1}{r^2}$ ના પ્રમાણમાં ઘટે છે,જ્યારે બિંદુવત વિદ્યુતભારનું પોટેન્શિયલ $\frac{1}{r}$ ના પ્રમાણમાં ઘટે છે.
વિશેષ કિસ્સાઓ:
$(1)$ અક્ષીય રેખા પરના બિંદુ માટે: $\theta = 0^\circ$ અથવા $180^\circ$,તેથી $V_a = \pm \frac{k p}{r^2}$.
$(2)$ વિષુવવૃત્તીય સમતલ પરના બિંદુ માટે: $\theta = 90^\circ$,તેથી $V_e = 0$.

(N/A) ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે આવેલા બિંદુ $P$ પર વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$,જ્યાં બિંદુનો સ્થાન સદિશ ડાયપોલ મોમેન્ટ સદિશ $\vec{p}$ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે,તે નીચે મુજબ છે:
$V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{p \cos\theta}{r^2}$
જ્યાં:
$p$ એ ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલ મોમેન્ટનું મૂલ્ય છે.
$r$ એ ડાયપોલના કેન્દ્રથી બિંદુ $P$ સુધીનું અંતર છે.
$\theta$ એ સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અને ડાયપોલ મોમેન્ટ સદિશ $\vec{p}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$\epsilon_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે.

(N/A) ધારો કે એક ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલ છે જેમાં $+q$ અને $-q$ જેટલા બે વિદ્યુતભારો $2a$ જેટલા અંતરે આવેલા છે. ડાયપોલના કેન્દ્ર $O$ થી $r$ અંતરે તેની અક્ષ પર એક બિંદુ $P$ છે.
બિંદુ $P$ નું $+q$ વિદ્યુતભારથી અંતર $(r - a)$ છે અને $-q$ વિદ્યુતભારથી અંતર $(r + a)$ છે.
બિંદુ $P$ પરનું કુલ વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ એ બંને વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો બેઝિક સરવાળો છે:
$V = V_{+q} + V_{-q}$
$V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{q}{r-a} - \frac{q}{r+a} \right)$
$V = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{r+a - (r-a)}{r^2 - a^2} \right)$
$V = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{2a}{r^2 - a^2} \right)$
ડાયપોલ મોમેન્ટ $p = q \times 2a$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ:
$V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{p}{r^2 - a^2}$
ટૂંકી ડાયપોલ માટે જ્યાં $r \gg a$ હોય,ત્યારે સમીકરણ નીચે મુજબ બને છે:
$V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{p}{r^2}$

(N/A) ધારો કે બે બિંદુવત વિદ્યુતભારો $q_{1}$ અને $q_{2}$ શરૂઆતમાં અનંત અંતરે છે.
પ્રથમ,વિદ્યુતભાર $q_{1}$ ને અનંત અંતરેથી બિંદુ $P_{1}$ પર લાવવામાં આવે છે. કોઈ બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્ર ન હોવાથી,કરેલું કાર્ય $W_{1}$ શૂન્ય છે.
$W_{1} = 0$ ... $(1)$
આ વિદ્યુતભાર $q_{1}$ અવકાશમાં કોઈપણ બિંદુ $P$ પર વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_{1} = \frac{k q_{1}}{r_{1p}}$ ઉત્પન્ન કરે છે,જ્યાં $r_{1p}$ એ $q_{1}$ થી બિંદુ $P$ નું અંતર છે.
હવે,વિદ્યુતભાર $q_{2}$ ને અનંત અંતરેથી બિંદુ $P_{2}$ પર લાવવામાં આવે છે,જે $q_{1}$ થી $r_{12}$ અંતરે છે. $q_{1}$ ના વિદ્યુતક્ષેત્રની વિરુદ્ધ કરેલું કાર્ય $W_{2}$ છે:
$W_{2} = q_{2} V_{1} = q_{2} \left( \frac{k q_{1}}{r_{12}} \right) = \frac{k q_{1} q_{2}}{r_{12}}$ ... $(2)$
સ્થિત-વિદ્યુત બળ સંરક્ષી હોવાથી,કુલ કાર્ય તંત્રની વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જા $U$ તરીકે સંગ્રહિત થાય છે:
$U = W_{1} + W_{2} = 0 + \frac{k q_{1} q_{2}}{r_{12}}$
$\therefore U = \frac{k q_{1} q_{2}}{r_{12}}$
આ અભિવ્યક્તિ વિદ્યુતભારોને કયા ક્રમમાં લાવવામાં આવે છે તેનાથી સ્વતંત્ર છે. ત્રણ વિદ્યુતભારોના તંત્ર માટે,સ્થિતિઊર્જા એ તમામ જોડીઓની આંતરક્રિયા ઊર્જાનો સરવાળો છે:
$U = k \left[ \frac{q_{1} q_{2}}{r_{12}} + \frac{q_{1} q_{3}}{r_{13}} + \frac{q_{2} q_{3}}{r_{23}} \right]$
જો $q_{1} q_{2} > 0$ હોય,તો સ્થિતિઊર્જા ધન (અપાકર્ષી) હોય છે. જો $q_{1} q_{2} < 0$ હોય,તો સ્થિતિઊર્જા ઋણ (આકર્ષી) હોય છે.

(N/A) ધારો કે $-q$ અને $+q$ વિદ્યુતભારો ધરાવતી એક ડાયપોલ,જેની વચ્ચેનું અંતર $2a$ છે,તેને સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{E}$ માં મૂકવામાં આવી છે.
વિદ્યુતભારો પર લાગતા બળો $+q\overrightarrow{E}$ અને $-q\overrightarrow{E}$ સમાન અને વિરુદ્ધ દિશાના હોવાથી તે ટોર્ક ઉત્પન્ન કરે છે,જેનું મૂલ્ય $\tau = pE \sin \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ $\vec{p}$ અને $\overrightarrow{E}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
ડાયપોલને આ ટોર્કની વિરુદ્ધ દિશામાં સૂક્ષ્મ ખૂણા $d\theta$ જેટલું ફેરવવા માટે કરવું પડતું બાહ્ય કાર્ય $dW = \tau_{ext} d\theta = pE \sin \theta d\theta$ છે.
સ્થિતિઊર્જા $U$ એ ડાયપોલને પ્રારંભિક ખૂણા $\theta_0$ થી અંતિમ ખૂણા $\theta$ સુધી ફેરવવા માટે કરેલા કાર્ય તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$U = \int_{\theta_0}^{\theta} pE \sin \theta' d\theta' = pE [-\cos \theta']_{\theta_0}^{\theta} = pE(\cos \theta_0 - \cos \theta)$.
જો સંદર્ભ સ્થિતિ $\theta_0 = 90^\circ$ લેવામાં આવે (જ્યાં $\cos 90^\circ = 0$),તો સ્થિતિઊર્જા:
$U(\theta) = -pE \cos \theta = -\vec{p} \cdot \overrightarrow{E}$ થાય છે.

(N/A) બાહ્ય ક્ષેત્ર $\vec{E}$ માં $\vec{r}_1$ અને $\vec{r}_2$ સ્થાને રહેલા બે વિદ્યુતભારો $q_1$ અને $q_2$ ના તંત્રની સ્થિતિઊર્જા નીચે મુજબ છે:
$U = q_1 V(\vec{r}_1) + q_2 V(\vec{r}_2) + \frac{k q_1 q_2}{r_{12}}$
ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલ માટે,$q_1 = +q$ અને $q_2 = -q$ છે. ધારો કે તેમની વચ્ચેનું અંતર $\vec{d} = 2\vec{a}$ છે. સ્થિતિઊર્જા નીચે મુજબ થશે:
$U = q V(\vec{r}_1) - q V(\vec{r}_2) - \frac{k q^2}{2a}$
પદ $q[V(\vec{r}_1) - V(\vec{r}_2)]$ એ બાહ્ય ક્ષેત્રમાં ડાયપોલને ખસેડવા માટે કરેલું કાર્ય દર્શાવે છે. કારણ કે $V(\vec{r}_1) - V(\vec{r}_2) = -\vec{E} \cdot \vec{d} = -E(2a \cos \theta)$,
$q[V(\vec{r}_1) - V(\vec{r}_2)] = -q(2a)E \cos \theta = -pE \cos \theta = -\vec{p} \cdot \vec{E}$
આમ,સ્થિતિઊર્જા:
$U(\theta) = -\vec{p} \cdot \vec{E} - \frac{k q^2}{2a}$
પદ $-\frac{k q^2}{2a}$ એ ડાયપોલની સ્વ-ઊર્જા છે,જે અચળ છે. $\theta = \frac{\pi}{2}$ પર સ્થિતિઊર્જા શૂન્ય લેતા,આપણને પ્રમાણિત સમીકરણ મળે છે:
$U = -\vec{p} \cdot \vec{E}$

(A) ધારો કે $+q$ વિદ્યુતભારને મધ્યબિંદુ $O$ થી $x$ જેટલા નાના અંતરે એક $-q$ વિદ્યુતભાર તરફ ખસેડવામાં આવે છે.
$-q$ વિદ્યુતભારોને કારણે $+q$ ની સ્થિતિઊર્જા $U$ નીચે મુજબ છે:
$U = k \left[ \frac{(-q)(q)}{d-x} + \frac{(-q)(q)}{d+x} \right] = -kq^2 \left[ \frac{1}{d-x} + \frac{1}{d+x} \right]$
$U = -kq^2 \left[ \frac{d+x+d-x}{d^2-x^2} \right] = -\frac{2kq^2d}{d^2-x^2}$
બળ શોધવા માટે,આપણે $U$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$F = -\frac{dU}{dx} = -\frac{d}{dx} \left( -2kq^2d (d^2-x^2)^{-1} \right) = -2kq^2d \left( (d^2-x^2)^{-2} \cdot 2x \right) = -\frac{4kq^2dx}{(d^2-x^2)^2}$
સંતુલન માટે,$F = 0$,જેનો અર્થ છે કે $x = 0$.
સ્થિરતા તપાસવા માટે,આપણે $x=0$ આગળ $U$ નું દ્વિતીય વિકલન શોધીએ છીએ:
$\frac{d^2U}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left( \frac{4kq^2dx}{(d^2-x^2)^2} \right) = 4kq^2d \left[ \frac{(d^2-x^2)^2 - x \cdot 2(d^2-x^2)(-2x)}{(d^2-x^2)^4} \right]$
$x=0$ આગળ,$\frac{d^2U}{dx^2} = 4kq^2d \left[ \frac{d^4}{d^8} \right] = \frac{4kq^2}{d^3} > 0$.
સ્થિતિઊર્જાનું દ્વિતીય વિકલન $x=0$ આગળ ધન હોવાથી,તે અક્ષ પર સ્થાયી સંતુલન દર્શાવે છે,પરંતુ અક્ષને લંબ દિશામાં તે અસ્થાયી છે (અર્નશોના પ્રમેય મુજબ).