Mutual Induction Questions in Gujarati

(D) ચોરસ લૂપ દ્વારા તેના કેન્દ્ર પર ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{\pi} \frac{4 \sin(45^\circ)}{L} = \frac{2\sqrt{2}\mu_0 I}{\pi L}$ છે.
વર્તુળાકાર લૂપ ખૂબ નાનું હોવાથી $(L >> R)$, આપણે ધારી શકીએ કે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ વર્તુળાકાર લૂપના ક્ષેત્રફળ પર સમાન છે.
$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળાકાર લૂપ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \times A = B \times (\pi R^2)$ છે.
$B$ ની કિંમત મૂકતા, આપણને $\phi = \left( \frac{2\sqrt{2}\mu_0 I}{\pi L} \right) \times (\pi R^2) = \frac{2\sqrt{2}\mu_0 I R^2}{L}$ મળે છે.
મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ $M$ ને $M = \phi / I$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
તેથી, $M = \frac{2\sqrt{2}\mu_0 R^2}{L}$ થાય.

(C) કોઈલ $P$ માં બદલાતા પ્રવાહને કારણે કોઈલ $Q$ માં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત e.m.f. $\varepsilon$ સૂત્ર $\varepsilon = -M \frac{dI}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે કોઈલ $P$ માં પ્રવાહ $I = I_0 \sin(\omega t)$ છે.
પ્રવાહના ફેરફારનો દર શોધતા: $\frac{dI}{dt} = \frac{d}{dt}(I_0 \sin(\omega t)) = I_0 \omega \cos(\omega t)$.
આ કિંમત e.m.f. ના સમીકરણમાં મૂકતા: $\varepsilon = -M (I_0 \omega \cos(\omega t)) = -M I_0 \omega \cos(\omega t)$.
પ્રેરિત e.m.f. નું મૂલ્ય $|\varepsilon| = M I_0 \omega |\cos(\omega t)|$ થાય.
$\cos(\omega t)$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $1$ છે.
તેથી, મહત્તમ પ્રેરિત e.m.f. $\varepsilon_{\text{max}} = M \omega I_0$ થશે.

(A) સેકન્ડરી કોઈલમાં પ્રેરિત e.m.f. $(e)$ નું સૂત્ર: $e = M \cdot \frac{dI}{dt}$, જ્યાં $M$ એ મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્શનનો ગુણાંક છે, $dI$ એ પ્રવાહમાં ફેરફાર છે અને $dt$ એ સમયગાળો છે.
આપેલ કિંમતો: $M = 3 \text{ H}$, $e = 4 \text{ kV} = 4000 \text{ V}$, અને $dI = I_1 - I_2 = 7 \text{ A} - 2 \text{ A} = 5 \text{ A}$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $4000 = 3 \cdot \frac{5}{dt}$.
$dt$ માટે ગણતરી કરતા: $dt = \frac{3 \cdot 5}{4000} = \frac{15}{4000} \text{ s}$.
$dt = 0.00375 \text{ s} = 3.75 \times 10^{-3} \text{ s}$.

(A) $I$ પ્રવાહ ધરાવતા $r_1$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2r_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r_2 \ll r_1$ હોવાથી, મોટા ગૂંચળા દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર નાના ગૂંચળાના ક્ષેત્રફળ પર લગભગ સમાન રહે છે.
$r_2$ ત્રિજ્યા ધરાવતા નાના ગૂંચળા સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A = \left( \frac{\mu_0 I}{2r_1} \right) (\pi r_2^2)$ છે.
અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ $M$ ની વ્યાખ્યા $M = \frac{\phi}{I}$ છે.
$\phi$ નું સૂત્ર મૂકતા, આપણને $M = \frac{\mu_0 \pi r_2^2}{2r_1}$ મળે છે.

(D) $I$ પ્રવાહ ધરાવતા $R$ ત્રિજ્યાના મોટા વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$R \gg r$ હોવાથી, $r$ ત્રિજ્યાના નાના ગૂંચળાના ક્ષેત્રફળ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ લગભગ સમાન રહે છે.
નાના ગૂંચળા સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A$ છે, જ્યાં $A = \pi r^2$ એ નાના ગૂંચળાનું ક્ષેત્રફળ છે.
તેથી, $\phi = \left( \frac{\mu_0 I}{2R} \right) (\pi r^2) = \left( \frac{\mu_0 \pi r^2}{2R} \right) I$.
અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ $M$ ને $\phi = MI$ સંબંધ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, તેથી $M = \frac{\mu_0 \pi r^2}{2R}$.
આમ, $M \propto \frac{r^2}{R}$.

(C) કપલિંગનો ગુણાંક $k$ એ સૂત્ર $M = k \sqrt{L_1 L_2}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે, જ્યાં $M$ એ અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ છે અને $L_1, L_2$ એ બે ગૂંચળાઓના આત્મ-પ્રેરકત્વ છે.
આપેલ કિંમતો $L_1 = 75 \text{ mH}$, $L_2 = 48 \text{ mH}$ અને $M = 37.2 \text{ mH}$ છે.
$k$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા, આપણને $k = \frac{M}{\sqrt{L_1 L_2}}$ મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $k = \frac{37.2}{\sqrt{75 \times 48}}$.
ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $75 \times 48 = 3600$.
વર્ગમૂળ લેતા: $\sqrt{3600} = 60$.
હવે, $k = \frac{37.2}{60} = 0.62$.
આમ, કપલિંગનો ગુણાંક $0.62$ છે.

(B) $r_1$ ત્રિજ્યા ધરાવતી અને $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ વહેવડાવતી વર્તુળાકાર કોઈલના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 r_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $r_1 > r_2$ હોવાથી, આપણે ધારીએ છીએ કે નાની કોઈલ (ત્રિજ્યા $r_2$) એ મોટી કોઈલ (ત્રિજ્યા $r_1$) દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલા ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મૂકવામાં આવી છે.
નાની કોઈલ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A_2$ છે, જ્યાં $A_2 = \pi r_2^2$ એ નાની કોઈલનું ક્ષેત્રફળ છે.
$\phi = \left( \frac{\mu_0 I}{2 r_1} \right) (\pi r_2^2) = \frac{\mu_0 \pi r_2^2}{2 r_1} I$.
મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ $M$ ને $\phi = M I$ સંબંધ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા, આપણને $M = \frac{\mu_0 \pi r_2^2}{2 r_1}$ મળે છે.

(B) બીજી કોઈલમાં પ્રેરિત e.m.f. નું સૂત્ર $\varepsilon = -M \frac{dI}{dt}$ છે.
આપેલ છે કે, $M = 0.005 \text{ H}$, $I = I_0 \sin \omega t$, $I_0 = 10 \text{ A}$, અને $\omega = 60\pi \text{ rad s}^{-1}$.
પ્રવાહનું સમીકરણ મૂકતા: $\varepsilon = -M \frac{d}{dt}(I_0 \sin \omega t) = -M I_0 \omega \cos \omega t$.
પ્રેરિત e.m.f. નું મૂલ્ય $|\varepsilon| = M I_0 \omega |\cos \omega t|$ થાય.
e.m.f. નું મહત્તમ મૂલ્ય $(\varepsilon_{max})$ ત્યારે મળે જ્યારે $|\cos \omega t| = 1$ હોય.
તેથી, $\varepsilon_{max} = M I_0 \omega$.
કિંમતો મૂકતા: $\varepsilon_{max} = 0.005 \times 10 \times 60\pi$.
$\varepsilon_{max} = 0.05 \times 60\pi = 3\pi \text{ V}$.
આમ, સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ $M$ નું સૂત્ર $M = \frac{N_2 \phi_2}{I_1}$ છે.
આપેલ છે:
$I_1 = 6$ $A$
$\phi_2 = 12 \times 10^{-4}$ $Wb/turn$
$N_2 = 2000$ આંટા
કિંમતો મૂકતા:
$M = \frac{2000 \times 12 \times 10^{-4}}{6}$
$M = \frac{24000 \times 10^{-4}}{6}$
$M = \frac{2.4}{6} = 0.4$ $H$.

(D) ગૌણ કોઈલમાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત $EMF$ $\varepsilon = M \frac{dI_p}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $I_p = 12 \sin(50\pi t)$, તેથી $\frac{dI_p}{dt} = 12 \times 50\pi \cos(50\pi t) = 600\pi \cos(50\pi t)$.
મહત્તમ પ્રેરિત $EMF$ $\varepsilon_{max} = M \times (600\pi) = (\pi \times 10^{-3}) \times 600\pi = 600\pi^2 \times 10^{-3} \text{ V}$ થાય.
$\pi^2 = 10$ લેતા, $\varepsilon_{max} = 600 \times 10 \times 10^{-3} = 6 \text{ V}$ મળે.
ગૌણ કોઈલનો ઈમ્પિડન્સ (પ્રતિબાધા) $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ છે, જ્યાં $X_L = \omega L$.
અહીં $\omega = 50\pi \text{ rad/s}$ અને $L = (60/\pi) \times 10^{-3} \text{ H}$ છે.
$X_L = 50\pi \times \frac{60}{\pi} \times 10^{-3} = 3000 \times 10^{-3} = 3 \text{ } \Omega$.
$Z = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \text{ } \Omega$.
મહત્તમ પ્રેરિત પ્રવાહ $I_{s,max} = \frac{\varepsilon_{max}}{Z} = \frac{6}{5} = 1.2 \text{ A}$ થાય.