Ampere’s circuital law and its application (Solenoid and Toroid) Questions in Gujarati

(D) આપેલ છે:
લાંબા તારમાં વહેતો પ્રવાહ, $I = 18 \,A$.
સોલેનોઇડને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર, $B_1 = 8.0 \times 10^{-3} \,T$ (અક્ષની દિશામાં).
અક્ષથી બિંદુ $P$ નું અંતર, $r = 0.6 \,mm = 0.6 \times 10^{-3} \,m$.
લાંબા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તારને કારણે $r$ અંતરે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર:
$B_2 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 18}{0.6 \times 10^{-3}} = \frac{36 \times 10^{-7}}{0.6 \times 10^{-3}} = 60 \times 10^{-4} \,T = 6 \times 10^{-3} \,T$.
સોલેનોઇડને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1$ અક્ષની દિશામાં છે અને તારને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2$ તારની આસપાસ $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળને સ્પર્શકની દિશામાં છે. આમ, $B_1$ અને $B_2$ એકબીજાને લંબ છે.
પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$:
$B = \sqrt{B_1^2 + B_2^2} = \sqrt{(8 \times 10^{-3})^2 + (6 \times 10^{-3})^2} \,T$
$B = \sqrt{64 \times 10^{-6} + 36 \times 10^{-6}} \,T = \sqrt{100 \times 10^{-6}} \,T = 10 \times 10^{-3} \,T$.

(C) ટોરોઇડની સરેરાશ ત્રિજ્યા $r_m$ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$r_m = \frac{0.24 + 0.26}{2} = 0.25 \ m$
ટોરોઇડની અંદરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$B = \mu_0 n I = \frac{\mu_0 N I}{2 \pi r_m}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$N = 2500$, $I = 10 \ A$, $r_m = 0.25 \ m$, અને $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$
$B = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 2500 \times 10}{2 \pi \times 0.25}$
$B = \frac{2 \times 10^{-7} \times 25000}{0.25} = \frac{5 \times 10^{-3}}{0.25} = 20 \times 10^{-3} = 2 \times 10^{-2} \ T$

(C) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા પાતળા પોલા નળાકાર માટે જે તેની લંબાઈ સાથે સમાન વિદ્યુતપ્રવાહ $i$ વહન કરે છે:
$1$. નળાકારની અંદર $(d < R)$, ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ શૂન્ય છે કારણ કે બંધિત વિદ્યુતપ્રવાહ શૂન્ય છે.
$2$. નળાકારની બહાર $(d \geq R)$, એમ્પીયરના નિયમ મુજબ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_{0} i}{2 \pi d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ દર્શાવે છે કે $B \propto \frac{1}{d}$.
તેથી, $B$ વિરુદ્ધ $d$ નો આલેખ $d < R$ માટે $B = 0$ અને $d \geq R$ માટે હાયપરબોલિક ઘટાડો દર્શાવશે. આ આકૃતિ $C$ માં દર્શાવેલ આલેખને અનુરૂપ છે.

(A) સમાન રીતે વહેતા વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ ધરાવતા $R$ ત્રિજ્યાના લાંબા નળાકાર વાહક માટે, અક્ષથી $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ એમ્પીયરના સર્કિટલ નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$1$. વાહકની અંદર $(r < R)$: $B = \frac{\mu_0 I r}{2 \pi R^2}$. અક્ષ પર $(r = 0)$, $B = 0$ થાય છે, જે ન્યૂનતમ મૂલ્ય છે.
$2$. સપાટી પર $(r = R)$: $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi R}$, જે મહત્તમ મૂલ્ય છે.
$3$. વાહકની બહાર $(r > R)$: $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$, જે $r$ વધવાની સાથે ઘટે છે.
આમ, ચુંબકીય ક્ષેત્ર વાહકની અક્ષ પર ન્યૂનતમ હોય છે (વિધાન $D$). વિધાન $A, B, C, E$ ખોટા છે. તેથી, માત્ર વિધાન $D$ સાચું છે.

(A) લાંબા સોલેનોઇડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ તેની અક્ષની દિશામાં હોય છે.
કણને સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવે છે અને તે સોલેનોઇડની અક્ષ પર ગતિ કરે છે, તેથી તેનો વેગ સદિશ $\vec{v}$ હંમેશા ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}$ ને સમાંતર અથવા પ્રતિ-સમાંતર હોય છે.
ગતિમાન વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F}_{B} = Q(\vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\vec{v}$ એ $\vec{B}$ ને સમાંતર હોવાથી, સદિશ ગુણાકાર $\vec{v} \times \vec{B} = 0$ થાય છે, તેથી $\vec{F}_{B} = 0$ મળે છે.
કણ પર લાગતું એકમાત્ર બળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $\vec{F}_{g} = m\vec{g}$ છે જે નીચેની તરફ લાગે છે.
તેથી, પરિણામી બળ $\vec{F}_{net} = m\vec{g}$ થાય છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ, $m\vec{a} = m\vec{g}$, જે દર્શાવે છે કે $\vec{a} = \vec{g}$.
આમ, કણનો પ્રવેગ $a = g$ થશે.

(B) કોર ધરાવતા સોલેનોઇડમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર $B = \mu_r \mu_0 H$ છે, જ્યાં $H$ એ ચુંબકીય તીવ્રતા છે.
આપેલ કિંમતો: $B = 1.0 \text{ T}$, $\mu_r = 400$, અને $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}$.
$H$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $H = \frac{B}{\mu_r \mu_0}$.
કિંમતો મૂકતા: $H = \frac{1.0}{400 \times 4\pi \times 10^{-7}} = \frac{1}{1600\pi \times 10^{-7}} = \frac{1}{16\pi \times 10^{-5}}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $H = \frac{10^5}{16\pi} = \frac{1}{16\pi} \times 10^5 \text{ A/m}$ મળે છે.
આપેલ પદ $\alpha \times 10^5$ સાથે સરખાવતા, $\alpha = \frac{1}{16\pi}$ મળે છે.

(A) શૂન્યાવકાશમાં ટોરોઇડની અંદરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_0 = \mu_0 n I$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે ટોરોઇડને $\chi$ મેગ્નેટિક સસેપ્ટિબિલિટી ધરાવતા પદાર્થથી ભરવામાં આવે છે, ત્યારે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 (1 + \chi) n I = B_0 (1 + \chi)$ થાય છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં થતો વધારો $\Delta B = B - B_0 = B_0 \chi$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં થતો ટકાવારી વધારો $\frac{\Delta B}{B_0} \times 100 \% = \chi \times 100 \%$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે $\chi = 2.6 \times 10^{-5}$, તેથી ટકાવારી વધારો $(2.6 \times 10^{-5}) \times 100 \% = 2.6 \times 10^{-3} \%$ થાય છે.

(A) લાંબા સોલેનોઈડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 n I$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $n = N/L$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે.
આડછેદના ક્ષેત્રફળ $A$ માંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A = \mu_0 \frac{N}{L} I A$ છે.
સોલેનોઈડની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = N I A$ છે.
ફ્લક્સના સમીકરણમાં $M$ મૂકતા: $\phi = \frac{\mu_0 M}{L}$.
આપેલ છે કે $\phi = \frac{\pi}{2} \times 10^{-6} \text{ Wb}$, $L = 0.6 \text{ m}$, અને $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}$.
$\frac{\pi}{2} \times 10^{-6} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times M}{0.6}$.
$\frac{1}{2} \times 10^{-6} = \frac{4 \times 10^{-7} \times M}{0.6}$.
$0.5 \times 10^{-6} = \frac{4 \times 10^{-7} \times M}{0.6}$.
$M = \frac{0.5 \times 10^{-6} \times 0.6}{4 \times 10^{-7}} = \frac{0.3 \times 10^{-6}}{4 \times 10^{-7}} = \frac{0.3}{0.4} = 0.75 \text{ Am}^2$.

(B) લાંબા સોલેનોઇડ માટે, તેના કેન્દ્રમાં ચુંબકીય ક્ષેત્રનું પ્રેરણ $(B)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $B = \mu_0 n I$.
વ્યાખ્યા મુજબ, ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા $(H)$ એ શૂન્યાવકાશમાં ચુંબકીય ક્ષેત્રના પ્રેરણ $(B)$ સાથે નીચેના સંબંધ દ્વારા જોડાયેલ છે: $H = B / \mu_0$.
$H$ ના સમીકરણમાં $B$ ની કિંમત મૂકતા, આપણને મળે છે: $H = (\mu_0 n I) / \mu_0$.
તેથી, $H = n I$.
આમ, સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) આદર્શ સોલેનોઇડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$B = \mu n I$
જ્યાં:
- $\mu$ એ સોલેનોઇડની અંદરના માધ્યમની પરમીએબિલિટી છે.
- $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે.
- $I$ એ સોલેનોઇડમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે ચુંબકીય પ્રેરણ એ માધ્યમની પરમીએબિલિટી, એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા અને તેમાંથી વહેતા વિદ્યુતપ્રવાહ પર આધાર રાખે છે. તે તારની ત્રિજ્યા પર આધાર રાખતું નથી.
તેથી, સાચી રાશિઓ $(a)$, $(c)$ અને $(d)$ છે.

(C) લાંબા સોલેનોઇડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર $B = \mu_0 n I$ છે, જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે અને $I$ એ સોલેનોઇડમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
ધારો કે પ્રારંભિક ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \mu_0 n I$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ, નવો વિદ્યુતપ્રવાહ $I' = 3I$ અને એકમ લંબાઈ દીઠ નવા આંટાની સંખ્યા $n' = n/2$ છે.
નવું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B'$ એ $B' = \mu_0 n' I' = \mu_0 (n/2) (3I) = \frac{3}{2} \mu_0 n I$ દ્વારા મળે છે.
$B = \mu_0 n I$ મૂકતા, આપણને $B' = \frac{3}{2} B$ મળે છે.

(D) લાંબા સોલેનોઇડના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય તીવ્રતા $H$ નું સૂત્ર $H = nI$ છે, જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે અને $I$ એ તેમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
આપેલ છે:
કુલ આંટાની સંખ્યા $N = 1000$
સોલેનોઇડની લંબાઈ $L = 4 \text{ m}$
વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 4 \text{ A}$
સૌ પ્રથમ, એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા શોધો: $n = N / L = 1000 / 4 = 250 \text{ આંટા/m}$.
હવે, કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$H = 250 \times 4 = 1000 \text{ A/m} = 10^{3} \text{ A/m}$.
તેથી, સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) એમ્પિયરના સર્કિટલ નિયમ મુજબ, બંધ લૂપની આસપાસ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ નું રેખા સંકલન $\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{\text{enclosed}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં, $I_{\text{enclosed}}$ એ લૂપ $P$ દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળમાંથી પસાર થતો કુલ પ્રવાહ છે.
લૂપની અંદરના પ્રવાહો $I_1 = 3 \text{ A}$ (ઉપરની તરફ) અને $I_2 = 1.5 \text{ A}$ (નીચેની તરફ) છે.
ઉપરની દિશાને ધન લેતા, કુલ ઘેરાયેલો પ્રવાહ $I_{\text{enclosed}} = 3 \text{ A} - 1.5 \text{ A} = 1.5 \text{ A}$ થાય.
લૂપની બહારનો પ્રવાહ રેખા સંકલનમાં ફાળો આપતો નથી.
તેથી, $\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 (1.5 \text{ A}) = 1.5 \mu_0$.