मान लीजिए f(x) = begin{cases} operatorname{sg | vedclass

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Question

(A) फलन $f(x) = \operatorname{sgn}(x^2 - 3x + 2)$ जब $x \in \mathbb{Q}$ और $f(x) = 0$ जब $x 
otin \mathbb{Q}$ के रूप में परिभाषित है।हम जानते हैं कि

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$2$

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(A) फलन $f(x) = \operatorname{sgn}(x^2 - 3x + 2)$ जब $x \in \mathbb{Q}$ और $f(x) = 0$ जब $x 
otin \mathbb{Q}$ के रूप में परिभाषित है।हम जानते हैं कि $\operatorname{sgn}(x^2 - 3x + 2) = \operatorname{sgn}((x-1)(x-2))$।सिग्नम फलन $\{-1, 0, 1\}$ मान लेता है।$f(x)$ के किसी बिंदु $x = a$ पर सतत होने के लिए,सीमा $\lim_{x 	o a} f(x)$ का अस्तित्व होना चाहिए और यह $f(a)$ के बराबर होनी चाहिए।चूँकि $\mathbb{Q}$ और $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ वास्तविक संख्याओं में सघन हैं,सीमा के अस्तित्व के लिए फलन को $a$ की ओर जाने वाले परिमेय और अपरिमेय दोनों अनुक्रमों के लिए समान मान लेना चाहिए।अतः,हमें $\operatorname{sgn}(a^2 - 3a + 2) = 0$ की आवश्यकता है।यह तब होता है जब $a^2 - 3a + 2 = 0$,जिससे $a = 1$ या $a = 2$ प्राप्त होता है।$x = 1$ पर,$f(1) = \operatorname{sgn}(0) = 0$। किसी भी अनुक्रम $x_n 	o 1$ के लिए,$f(x_n)$ का मान $0$ की ओर प्रवृत्त होगा क्योंकि $\operatorname{sgn}(x^2 - 3x + 2)$ का मान $x=1$ और $x=2$ पर $0$ है,और अपरिमेय संख्याओं के लिए फलन का मान $0$ है।इस प्रकार,$f(x)$,$x=1$ और $x=2$ पर सतत है।ऐसे कुल $2$ बिंदु हैं।

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