यदि फलन $f(x) = \frac{4\sqrt{2}(\sin 3x + \sin x)}{2 \sin 2x \sin \frac{3x}{2} + \cos \frac{5x}{2} - \cos \frac{3x}{2}}$, जहाँ $x \neq \frac{\pi}{2}$, $x = \frac{\pi}{2}$ पर संतत है, तो $f(\frac{\pi}{2})$ का मान है

मान लीजिए कि $f$ विवृत अंतराल $(a, b)$ पर एक अवकलनीय फलन है। निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य होना चाहिए?
$I$. $f$ संवृत अंतराल $[a, b]$ पर सतत है।
$II$. $f$ विवृत अंतराल $(a, b)$ पर परिबद्ध (bounded) है।
$III$. यदि $a < a_1 < b_1 < b$,और $f(a_1) < 0 < f(b_1)$ है,तो एक ऐसी संख्या $c$ मौजूद है कि $a_1 < c < b_1$ और $f(c) = 0$ है।

मान लीजिए $f: R \rightarrow R$ एक फलन है जो $f(x)=\begin{cases} \frac{\sin (a+1) x+\sin 2 x}{2 x} & , \text{यदि } x<0 \\ b & , \text{यदि } x=0 \\ \frac{\sqrt{x+b x^{3}}-\sqrt{x}}{b x^{5 / 2}} & , \text{यदि } x>0 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित है। यदि $f$ बिंदु $x=0$ पर सतत है,तो $a+b$ का मान ....... है।

यदि $f: R \rightarrow R$ को $f(x) = \begin{cases} \frac{\cos 3x - \cos x}{x^2}, & \text{for } x \neq 0 \\ \lambda, & \text{for } x = 0 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित किया गया है और यदि $f$,$x = 0$ पर सतत है,तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।

$f(x)= \begin{cases}(1+3x)^{\frac{4}{x}}, & \text{यदि } x \neq 0 \\ a, & \text{यदि } x=0 \end{cases}$
यदि $f$,$x=0$ पर संतत है,तो $\log a=$

माना $f(x) = \begin{cases} \frac{x^3 + x^2 - 16x + 20}{(x - 2)^2}, & \text{यदि } x \neq 2 \\ k, & \text{यदि } x = 2 \end{cases}$। यदि $f(x)$ सभी $x$ के लिए सतत है,तो $k =$