मान लीजिए f: R rightarrow R एक फलन है जो f(x) | vedclass

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Question

(D) चूंकि $f(x)$ बिंदु $x=0$ पर सतत है,इसलिए $\lim_{x \rightarrow 0^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} f(x) = f(0)$ होना चाहिए।सबसे पहले,$f(0) = b

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$-\frac{3}{2}$

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(D) चूंकि $f(x)$ बिंदु $x=0$ पर सतत है,इसलिए $\lim_{x \rightarrow 0^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} f(x) = f(0)$ होना चाहिए।सबसे पहले,$f(0) = b$ है।बायां पक्ष सीमा $(LHL)$:$\lim_{x \rightarrow 0^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{\sin(a+1)x + \sin 2x}{2x} = \lim_{x \rightarrow 0^{-}} \left( \frac{\sin(a+1)x}{2x} + \frac{\sin 2x}{2x} \right) = \frac{a+1}{2} + 1$.दायां पक्ष सीमा $(RHL)$:$\lim_{x \rightarrow 0^{+}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\sqrt{x+bx^3} - \sqrt{x}}{bx^{5/2}} = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{1+bx^2} - 1)}{bx^{5/2}} = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\sqrt{1+bx^2} - 1}{bx^2} = \frac{1}{2}$.सीमाओं की तुलना करने पर:$b = \frac{1}{2}$ और $\frac{a+1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$.अतः,$\frac{a+1}{2} = -\frac{1}{2} \Rightarrow a+1 = -1 \Rightarrow a = -2$.इस प्रकार,$a+b = -2 + \frac{1}{2} = -\frac{3}{2}$.

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