intlimits_0^pi {{e^{{{cos }^4}x}}} cdot cos^5 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) ધારો કે $I = \int\limits_0^\pi e^{\cos^4 x} \cdot \cos^5(2n + 1)x \,dx$. ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) \,dx = \int_0^a f(a - x) \,dx$ નો ઉપયોગ કરતા: $I =

Vedclass · Accepted Answer

$0$

Vedclass · Answer

(D) ધારો કે $I = \int\limits_0^\pi e^{\cos^4 x} \cdot \cos^5(2n + 1)x \,dx$. ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) \,dx = \int_0^a f(a - x) \,dx$ નો ઉપયોગ કરતા: $I = \int_0^\pi e^{\cos^4(\pi - x)} \cdot \cos^5(2n + 1)(\pi - x) \,dx$. કારણ કે $\cos(\pi - x) = -\cos x$,તેથી $\cos^4(\pi - x) = \cos^4 x$. વળી,$\cos(2n + 1)(\pi - x) = \cos((2n + 1)\pi - (2n + 1)x) = \cos((2n + 1)\pi) \cdot \cos(2n + 1)x + \sin((2n + 1)\pi) \cdot \sin(2n + 1)x$. $(2n + 1)$ એકી પૂર્ણાંક હોવાથી,$\cos((2n + 1)\pi) = -1$ અને $\sin((2n + 1)\pi) = 0$. તેથી,$\cos(2n + 1)(\pi - x) = -\cos(2n + 1)x$. તેથી,$\cos^5(2n + 1)(\pi - x) = (-\cos(2n + 1)x)^5 = -\cos^5(2n + 1)x$. આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા: $I = \int_0^\pi e^{\cos^4 x} \cdot (-\cos^5(2n + 1)x) \,dx = -I$. $2I = 0 \implies I = 0$.

$\int\limits_0^\pi {{e^{{{\cos }^4}x}}} \cdot \cos^5(2n + 1)x \,dx, (n \in I)$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

$\int_{0}^{1} \frac{dx}{x + \sqrt{1 - x^2}}$ ની કિંમત શોધો.

$\int_{-4}^{4} (2^x + 2^{-x})(3^x + 3^{-x}) \, dx$ ની કિંમત શોધો.

$I_n = \int_{1}^{e} (\ln x)^n dx$,જ્યાં $n \in N$ માટે,નીચેનામાંથી કયો સંબંધ સાચો છે?

$\int_0^\pi {{e^{{{\cos }^2}x}}{{\cos }^5}3x} \,dx$ નું મૂલ્ય શું છે?

સંકલન $\int_0^\pi \frac{(x+3) \sin x}{1+3 \cos ^2 x} d x$ ની કિંમત શોધો:

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module