mathop sum limits_{0 le i

Question

(D) ધારો કે $S = \sum_{0 \le i < j \le n} i \binom{n}{j}$.આ સરવાળાને $\sum_{j=1}^n \binom{n}{j} \sum_{i=0}^{j-1} i$ તરીકે લખી શકાય.અંદરનો સરવાળો $\sum

Vedclass · Accepted Answer

$n(n-1) 2^{n-3}$

Vedclass · Answer

(D) ધારો કે $S = \sum_{0 \le i આ સરવાળાને $\sum_{j=1}^n \binom{n}{j} \sum_{i=0}^{j-1} i$ તરીકે લખી શકાય.અંદરનો સરવાળો $\sum_{i=0}^{j-1} i = \frac{(j-1)j}{2}$ છે.તેથી,$S = \sum_{j=1}^n \binom{n}{j} \frac{j(j-1)}{2} = \frac{1}{2} \sum_{j=2}^n j(j-1) \binom{n}{j}$.નિત્યસમ $j(j-1) \binom{n}{j} = n(n-1) \binom{n-2}{j-2}$ નો ઉપયોગ કરતા:$S = \frac{1}{2} \sum_{j=2}^n n(n-1) \binom{n-2}{j-2} = \frac{n(n-1)}{2} \sum_{j=2}^n \binom{n-2}{j-2}$.ધારો કે $k = j-2$,તો $S = \frac{n(n-1)}{2} \sum_{k=0}^{n-2} \binom{n-2}{k}$.કારણ કે $\sum_{k=0}^{m} \binom{m}{k} = 2^m$,તેથી $S = \frac{n(n-1)}{2} 2^{n-2} = n(n-1) 2^{n-3}$.

$\mathop \sum \limits_{0 \le i < j \le n} i \binom{n}{j}$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

શ્રેણી $\binom{20}{0} - \binom{20}{1} + \binom{20}{2} - \binom{20}{3} + \dots + \binom{20}{10}$ નો સરવાળો શું થાય?

જો ${}^{21}C_1 + 3 \cdot {}^{21}C_3 + 5 \cdot {}^{21}C_5 + \dots + 19 \cdot {}^{21}C_{19} + 21 \cdot {}^{21}C_{21} = k$ હોય,તો $k$ ના અવિભાજ્ય અવયવોની સંખ્યા કેટલી થાય?

જો $(1 + x)^n = C_0 + C_1x + C_2x^2 + .......... + C_nx^n$ હોય,તો $\frac{C_1}{C_0} + \frac{2C_2}{C_1} + \frac{3C_3}{C_2} + .... + \frac{nC_n}{C_{n - 1}} = $

ધારો કે $m, n \in \mathbb{N}$ અને $\operatorname{gcd}(2, n)=1$. જો $30\binom{30}{0} + 29\binom{30}{1} + \ldots + 2\binom{30}{28} + 1\binom{30}{29} = n \cdot 2^m$ હોય,તો $n + m$ ની કિંમત શોધો. (અહીં $\binom{n}{k} = {^nC_k}$)

$\frac{C_1}{C_0} + 2\frac{C_2}{C_1} + 3\frac{C_3}{C_2} + \dots + 15\frac{C_{15}}{C_{14}} = $

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module