જો $A=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 4\end{array}\right]$ હોય,તો સાબિત કરો કે $|3 A|=27|A|$.

(A) આપેલ શ્રેણિક $A=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 4\end{array}\right]$ છે.
અહીં જોઈ શકાય છે કે પ્રથમ સ્તંભમાં બે ઘટકો શૂન્ય છે. તેથી,સરળ ગણતરી માટે આપણે પ્રથમ સ્તંભ $(C_1)$ ની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરીશું.
$|A|=1\left|\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 0 & 4\end{array}\right|-0\left|\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 4\end{array}\right|+0\left|\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 2\end{array}\right|=1(4-0)-0+0=4$.
$\therefore 27|A|=27(4)=108 \dots (i)$.
હવે,$3A = 3\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 4\end{array}\right] = \left[\begin{array}{lll}3 & 0 & 3 \\ 0 & 3 & 6 \\ 0 & 0 & 12\end{array}\right]$.
$\therefore |3A| = 3\left|\begin{array}{ll}3 & 6 \\ 0 & 12\end{array}\right| - 0\left|\begin{array}{ll}0 & 6 \\ 0 & 12\end{array}\right| + 0\left|\begin{array}{ll}0 & 3 \\ 0 & 0\end{array}\right| = 3(36 - 0) = 108 \dots (ii)$.
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ પરથી,આપણને મળે છે કે $|3A| = 27|A|$.
આમ,આપેલ પરિણામ સાબિત થાય છે.