ધારો કે $A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. જો $a, b \in A$ હોય અને $a * b$ એ $ab$ ને $7$ વડે ભાગતા મળતી શેષ તરીકે વ્યાખ્યાયિત હોય,તો $*$ પ્રક્રિયા માટે $2$ નો વ્યસ્ત શોધો.

ધારો કે $*$ એ $Q$ પર વ્યાખ્યાયિત દ્રીક ક્રિયા છે. $a, b \in Q$ માટે $a * b = a - b$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત દ્રીક ક્રિયા ક્રમનો નિયમ પાળે છે કે નહીં તે નક્કી કરો.

ધારો કે $*$ એ સંમેય સંખ્યાઓના ગણ $Q$ પર વ્યાખ્યાયિત દ્રીકક્રિયા છે. $a, b \in Q$ માટે $a * b = (a - b)^{2}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત દ્રીકક્રિયા ક્રમનો નિયમ પાળે છે કે નહીં તે નક્કી કરો.

ધારો કે $^*$ એ સંમેય સંખ્યાઓના ગણ $Q$ પરની દ્વિ-ક્રિયા છે,જે $a \,^* \,b = a^{2} + b^{2}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે. નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?

એક અરિક્ત ગણ $X$ આપેલ છે,દ્વિ-ક્રિયા $^*: P(X) \times P(X) \rightarrow P(X)$ ધ્યાનમાં લો જે $A, B \in P(X)$ માટે $A \,^*\, B = A \cap B$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે,જ્યાં $P(X)$ એ $X$ નો ઘાતગણ છે. સાબિત કરો કે $X$ એ આ ક્રિયા માટે તટસ્થ ઘટક છે અને $X$ એ આ ક્રિયાના સંદર્ભમાં $P(X)$ માં એકમાત્ર વ્યસ્ત સંપન્ન ઘટક છે.

જો ક્રિયા $ \oplus $ એ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $ a $ અને $ b $ માટે $ a \oplus b = a^{2} + b^{2} $ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે,તો $ (2 \oplus 3) \oplus 4 = $