माना $A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ है। यदि $a, b \in A$ है और $a * b$ को $ab$ को $7$ से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल के रूप में परिभाषित किया गया है,तो $*$ संक्रिया के अंतर्गत $2$ का प्रतिलोम ज्ञात कीजिए।

समुच्चय $\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ पर एक द्विआधारी संक्रिया $^*$ को $a \,^* \, b = \begin{cases} a+b, & \text{यदि } a+b < 6 \\ a+b-6, & \text{यदि } a+b \geq 6 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित कीजिए। सिद्ध कीजिए कि $0$ इस संक्रिया के लिए तत्समक है और समुच्चय का प्रत्येक अवयव $a \neq 0$ व्युत्क्रमणीय है,जहाँ $6-a$ अवयव $a$ का प्रतिलोम है।

समुच्चय $\{1,2,3,4,5\}$ पर निम्नलिखित गुणन सारणी द्वारा दी गई द्विआधारी संक्रिया $*$ पर विचार करें। क्या $^*$ क्रमविनिमेय (commutative) है?
(संकेत: निम्नलिखित सारणी का उपयोग करें)

मान लीजिए कि $^*$ परिमेय संख्याओं के समुच्चय $Q$ पर एक द्विआधारी संक्रिया है,जो $a ^* b = a - b$ द्वारा परिभाषित है। निर्धारित कीजिए कि क्या संक्रिया $^*$ क्रमविनिमेय और साहचर्य है।

सिद्ध कीजिए कि $(a, b) \rightarrow a+4 b^{2}$ द्वारा प्रदत्त $*: R \times R \rightarrow R$ एक द्विआधारी संक्रिया (binary operation) है।

सिद्ध कीजिए कि योग, व्यवकलन और गुणन $R$ पर द्विआधारी संक्रियाएँ (binary operations) हैं, लेकिन भाग $R$ पर द्विआधारी संक्रिया नहीं है। इसके अतिरिक्त, सिद्ध कीजिए कि भाग शून्येतर वास्तविक संख्याओं के समुच्चय $R_*$ पर एक द्विआधारी संक्रिया है।