alpha_r और beta_r (alpha_r

Question

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2 - r^2(r + 1)x + r^5 = 0$ है।माना मूल $\alpha_r$ और $\beta_r$ हैं। मूलों के गुणों से,$\alpha_r + \beta_r = r^2(r + 1)

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$\frac{1}{2}n(n + 1)(n^2 + 3n + 1)$

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(A) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2 - r^2(r + 1)x + r^5 = 0$ है।माना मूल $\alpha_r$ और $\beta_r$ हैं। मूलों के गुणों से,$\alpha_r + \beta_r = r^2(r + 1) = r^3 + r^2$ और $\alpha_r \beta_r = r^5$ प्राप्त होता है।चूंकि $r^5 = r^2 \cdot r^3$,इसलिए मूल $\alpha_r = r^2$ और $\beta_r = r^3$ हैं (जहाँ $\alpha_r हमें $S = \sum_{r=1}^n (3\alpha_r + 2\beta_r) = 3\sum_{r=1}^n r^2 + 2\sum_{r=1}^n r^3$ का मान ज्ञात करना है।मानक योग सूत्रों $\sum_{r=1}^n r^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ और $\sum_{r=1}^n r^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$ का उपयोग करने पर:$S = 3 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 2 \cdot \frac{n^2(n+1)^2}{4} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{2} + \frac{n^2(n+1)^2}{2}$.$\frac{n(n+1)}{2}$ को उभयनिष्ठ लेने पर,$S = \frac{n(n+1)}{2} [ (2n+1) + n(n+1) ] = \frac{n(n+1)}{2} [ 2n + 1 + n^2 + n ] = \frac{n(n+1)}{2} (n^2 + 3n + 1)$ प्राप्त होता है।

$\alpha_r$ और $\beta_r$ $(\alpha_r < \beta_r)$ समीकरण $x^2 - r^2(r + 1)x + r^5 = 0$ के मूल हैं। $\sum_{r=1}^n (3\alpha_r + 2\beta_r)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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