क्या $3, 3+\sqrt{2}, 3+2\sqrt{2}, 3+3\sqrt{2}, \ldots$ समांतर श्रेणी $(AP)$ में हैं? यदि वे एक $AP$ बनाते हैं,तो सार्व अंतर $d$ ज्ञात कीजिए और अगले तीन पद लिखिए।

(A) दी गई अनुक्रम $3, 3+\sqrt{2}, 3+2\sqrt{2}, 3+3\sqrt{2}, \ldots$ है।
यह जाँचने के लिए कि क्या अनुक्रम $AP$ में है,हम क्रमागत पदों के बीच का अंतर ज्ञात करते हैं:
$a_2 - a_1 = (3 + \sqrt{2}) - 3 = \sqrt{2}$
$a_3 - a_2 = (3 + 2\sqrt{2}) - (3 + \sqrt{2}) = \sqrt{2}$
$a_4 - a_3 = (3 + 3\sqrt{2}) - (3 + 2\sqrt{2}) = \sqrt{2}$
चूँकि अंतर $a_{k+1} - a_k$ समान है,इसलिए यह अनुक्रम एक $AP$ है जिसका सार्व अंतर $d = \sqrt{2}$ है।
अगले तीन पद इस प्रकार हैं:
$a_5 = a_4 + d = (3 + 3\sqrt{2}) + \sqrt{2} = 3 + 4\sqrt{2}$
$a_6 = a_5 + d = (3 + 4\sqrt{2}) + \sqrt{2} = 3 + 5\sqrt{2}$
$a_7 = a_6 + d = (3 + 5\sqrt{2}) + \sqrt{2} = 3 + 6\sqrt{2}$