$AB$ અને $AC$ એ $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળની બે જીવાઓ છે,જેથી $AB = 2 AC$ થાય. જો $p$ અને $q$ એ કેન્દ્રથી $AB$ અને $AC$ ના અંતર હોય,તો સાબિત કરો કે $4 q^{2} = p^{2} + 3 r^{2}$.

(N/A) ધારો કે $O$ કેન્દ્ર અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતું એક વર્તુળ છે. $AB$ અને $AC$ બે જીવાઓ છે જેથી $AB = 2 AC$ થાય.
ધારો કે $OL \perp AB$ અને $OM \perp AC$. આપેલ છે કે $OL = p$ અને $OM = q$.
આપણે જાણીએ છીએ કે વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી જીવા પર દોરેલો લંબ જીવાને દુભાગે છે.
કાટકોણ $\Delta AOL$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$r^{2} = AL^{2} + p^{2} \Rightarrow AL^{2} = r^{2} - p^{2}$.
$L$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$AL = \frac{1}{2} AB$.
તેથી,$(\frac{1}{2} AB)^{2} = r^{2} - p^{2} \Rightarrow \frac{1}{4} AB^{2} = r^{2} - p^{2} \Rightarrow AB^{2} = 4(r^{2} - p^{2})$.
$AB = 2 AC$ હોવાથી,$(2 AC)^{2} = 4(r^{2} - p^{2}) \Rightarrow 4 AC^{2} = 4(r^{2} - p^{2}) \Rightarrow AC^{2} = r^{2} - p^{2} \quad \dots(1)$.
કાટકોણ $\Delta AOM$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$r^{2} = AM^{2} + q^{2} \Rightarrow AM^{2} = r^{2} - q^{2}$.
$M$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$AM = \frac{1}{2} AC$.
તેથી,$(\frac{1}{2} AC)^{2} = r^{2} - q^{2} \Rightarrow \frac{1}{4} AC^{2} = r^{2} - q^{2} \Rightarrow AC^{2} = 4(r^{2} - q^{2}) \quad \dots(2)$.
$(1)$ અને $(2)$ ને સરખાવતા:
$r^{2} - p^{2} = 4(r^{2} - q^{2})$
$r^{2} - p^{2} = 4r^{2} - 4q^{2}$
$4q^{2} = 4r^{2} - r^{2} + p^{2}$
$4q^{2} = 3r^{2} + p^{2}$.
આમ,$4q^{2} = p^{2} + 3r^{2}$ સાબિત થાય છે.