$AB$ और $AC$ एक $r$ त्रिज्या वाले वृत्त की दो जीवाएँ हैं,इस प्रकार कि $AB = 2 AC$ है। यदि $p$ और $q$ केंद्र से $AB$ और $AC$ की दूरियाँ हैं,तो सिद्ध कीजिए कि $4 q^{2} = p^{2} + 3 r^{2}$ है।

(N/A) मान लीजिए $O$ केंद्र और $r$ त्रिज्या वाला एक वृत्त है। $AB$ और $AC$ दो जीवाएँ हैं इस प्रकार कि $AB = 2 AC$ है।
मान लीजिए $OL \perp AB$ और $OM \perp AC$ है। दिया है कि $OL = p$ और $OM = q$ है।
हम जानते हैं कि वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।
समकोण $\Delta AOL$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$r^{2} = AL^{2} + p^{2} \Rightarrow AL^{2} = r^{2} - p^{2}$।
चूँकि $L$,$AB$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $AL = \frac{1}{2} AB$ है।
अतः,$(\frac{1}{2} AB)^{2} = r^{2} - p^{2} \Rightarrow \frac{1}{4} AB^{2} = r^{2} - p^{2} \Rightarrow AB^{2} = 4(r^{2} - p^{2})$ है।
चूँकि $AB = 2 AC$ है,इसलिए $(2 AC)^{2} = 4(r^{2} - p^{2}) \Rightarrow 4 AC^{2} = 4(r^{2} - p^{2}) \Rightarrow AC^{2} = r^{2} - p^{2} \quad \dots(1)$ है।
समकोण $\Delta AOM$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$r^{2} = AM^{2} + q^{2} \Rightarrow AM^{2} = r^{2} - q^{2}$ है।
चूँकि $M$,$AC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $AM = \frac{1}{2} AC$ है।
अतः,$(\frac{1}{2} AC)^{2} = r^{2} - q^{2} \Rightarrow \frac{1}{4} AC^{2} = r^{2} - q^{2} \Rightarrow AC^{2} = 4(r^{2} - q^{2}) \quad \dots(2)$ है।
$(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर:
$r^{2} - p^{2} = 4(r^{2} - q^{2})$
$r^{2} - p^{2} = 4r^{2} - 4q^{2}$
$4q^{2} = 4r^{2} - r^{2} + p^{2}$
$4q^{2} = 3r^{2} + p^{2}$ है।
अतः,$4q^{2} = p^{2} + 3r^{2}$ सिद्ध हुआ।