$D, E$ और $F$ एक समबाहु त्रिभुज $ABC$ की भुजाओं $BC, CA$ और $AB$ के मध्य-बिंदु हैं। सिद्ध कीजिए कि $\triangle DEF$ भी एक समबाहु त्रिभुज है।

(N/A) दिया है: $\triangle ABC$ एक समबाहु त्रिभुज है। $D, E$ और $F$ क्रमशः $\triangle ABC$ की भुजाओं $BC, CA$ और $AB$ के मध्य-बिंदु हैं।
सिद्ध करना है: $\triangle DEF$ एक समबाहु त्रिभुज है।
उपपत्ति: मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर होता है और उसकी लंबाई तीसरी भुजा की आधी होती है।
$1$. $EF$,भुजाओं $AB$ और $AC$ के मध्य-बिंदुओं को मिलाता है। इसलिए,$EF = \frac{1}{2} BC$ $(1)$.
$2$. $DE$,भुजाओं $BC$ और $AC$ के मध्य-बिंदुओं को मिलाता है। इसलिए,$DE = \frac{1}{2} AB$ $(2)$.
$3$. $DF$,भुजाओं $BC$ और $AB$ के मध्य-बिंदुओं को मिलाता है। इसलिए,$DF = \frac{1}{2} AC$ $(3)$.
चूंकि $\triangle ABC$ एक समबाहु त्रिभुज है,इसलिए $AB = BC = CA$ $(4)$.
$(4)$ का मान $(1), (2)$ और $(3)$ में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$EF = \frac{1}{2} BC$,$DE = \frac{1}{2} BC$,और $DF = \frac{1}{2} BC$.
अतः,$DE = EF = DF$.
इसलिए,$\triangle DEF$ एक समबाहु त्रिभुज है। इति सिद्धम्।