यदि x * y = x^{2} + y^{3} और (x * 1) * 1 = x | vedclass

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Question

(B) दी गई संक्रिया $x * y = x^{2} + y^{3}$ है।सबसे पहले,$(x * 1) * 1 = x * (1 * 1)$ का मूल्यांकन करें:$(x * 1) = x^{2} + 1^{3} = x^{2} + 1$.अतः,$(x *

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$\frac{\pi}{3}$

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(B) दी गई संक्रिया $x * y = x^{2} + y^{3}$ है।सबसे पहले,$(x * 1) * 1 = x * (1 * 1)$ का मूल्यांकन करें:$(x * 1) = x^{2} + 1^{3} = x^{2} + 1$.अतः,$(x * 1) * 1 = (x^{2} + 1) * 1 = (x^{2} + 1)^{2} + 1^{3} = (x^{2} + 1)^{2} + 1$.अब,$x * (1 * 1)$ का मूल्यांकन करें:$(1 * 1) = 1^{2} + 1^{3} = 2$.अतः,$x * (1 * 1) = x * 2 = x^{2} + 2^{3} = x^{2} + 8$.दोनों पक्षों की तुलना करने पर:$(x^{2} + 1)^{2} + 1 = x^{2} + 8$$x^{4} + 2x^{2} + 1 + 1 = x^{2} + 8$$x^{4} + x^{2} - 6 = 0$.माना $t = x^{2}$,तो $t^{2} + t - 6 = 0$,जिसके गुणनखंड $(t + 3)(t - 2) = 0$ हैं।चूँकि $x^{2} = t$ ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए $x^{2} = 2$.अब $x^{2} = 2$ को $2 \sin^{-1}\left(\frac{x^{4} + x^{2} - 2}{x^{4} + x^{2} + 2}ight)$ में प्रतिस्थापित करें:$x^{4} = (x^{2})^{2} = 2^{2} = 4$.व्यंजक $= 2 \sin^{-1}\left(\frac{4 + 2 - 2}{4 + 2 + 2}ight) = 2 \sin^{-1}\left(\frac{4}{8}ight) = 2 \sin^{-1}\left(\frac{1}{2}ight)$.चूँकि $\sin^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$,इसलिए मान $2 	imes \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$ है।

यदि $x * y = x^{2} + y^{3}$ और $(x * 1) * 1 = x * (1 * 1)$ है,तो $2 \sin^{-1}\left(\frac{x^{4} + x^{2} - 2}{x^{4} + x^{2} + 2}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि $A=2 \tan ^{-1}\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$ और $B=\cos ^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)$,जहाँ $x \in(0,1)$,तो $A-B=$

$2 \cot ^{-1} \frac{1}{2} - \cot ^{-1} \frac{4}{3}$ का मान है

$\tan ^{-1} \left( \frac{\cos x}{1-\sin x} \right)$,$-\frac{3 \pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$ को सरलतम रूप में व्यक्त कीजिए।

$\sin ^{-1}(\cos(\sin ^{-1} x)) + \cos ^{-1}(\sin(\cos^{-1} x)) = \text{ . . . . . . }$

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