$\int_{0}^{2} ( |2x^2 - 3x| + [x - \frac{1}{2}] ) dx$,જ્યાં $[ \cdot ]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય છે,તેની કિંમત શોધો.

ધારો કે $\{x\}$ અને $[x]$ એ વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ નો અપૂર્ણાંક ભાગ અને $x$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો મહત્તમ પૂર્ણાંક દર્શાવે છે. જો $\int_{0}^{n}\{x\} dx$,$\int_{0}^{n}[x] dx$ અને $10(n^{2}-n)$ $(n \in N, n > 1)$ એ $G.P.$ ના ત્રણ ક્રમિક પદો હોય,તો $n$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $I_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^n x \, dx$. તો $\frac{1}{I_2 + I_4}, \frac{1}{I_3 + I_5}, \frac{1}{I_4 + I_6}, \dots$ શેમાં છે?

$x \in R \setminus \{0\}$ માટે સમીકરણ $6 \int_{0}^{|x|} ((t^2-1) \ln t) dt = 5|x|$ ના ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?

ધારો કે $f: \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \rightarrow \mathbb{R}$ એક સતત વિધેય છે જેથી $f(0)=1$ અને $\int_0^{\frac{\pi}{3}} f(t) dt = 0$ થાય. તો નીચેનામાંથી કયા વિધાનો $TRUE$ છે?
$(A)$ સમીકરણ $f(x) - 3 \cos 3x = 0$ ને $\left(0, \frac{\pi}{3}\right)$ માં ઓછામાં ઓછો એક ઉકેલ છે.
$(B)$ સમીકરણ $f(x) - 3 \sin 3x = -\frac{6}{\pi}$ ને $\left(0, \frac{\pi}{3}\right)$ માં ઓછામાં ઓછો એક ઉકેલ છે.
$(C)$ $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x \int_0^x f(t) dt}{1 - e^{x^2}} = -1$
$(D)$ $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x \int_0^x f(t) dt}{x^2} = -1$

જો $f(x)$ એ સંબંધ $f(x) = e^{x} + \int_{0}^{1} (y + xe^{x}) f(y) dy$ નું પાલન કરતું હોય, તો $e + f(0)$ ની કિંમત . . . . . . થાય.