यदि S(x) = (1+x) + 2(1+x)^2 + 3(1+x)^3 + ldot | vedclass

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Question

(C) माना $y = 1+x$. तब $S(x) = y + 2y^2 + 3y^3 + \ldots + 60y^{60}$.
यह एक अंकगणितीय-ज्यामितीय श्रेणी है।
$yS = y^2 + 2y^3 + \ldots + 59y^{60} + 60y

Vedclass · Accepted Answer

$120$

Vedclass · Answer

(C) माना $y = 1+x$. तब $S(x) = y + 2y^2 + 3y^3 + \ldots + 60y^{60}$.
यह एक अंकगणितीय-ज्यामितीय श्रेणी है।
$yS = y^2 + 2y^3 + \ldots + 59y^{60} + 60y^{61}$.
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $(1-y)S = y + y^2 + y^3 + \ldots + y^{60} - 60y^{61}$.
चूंकि $y = 1+x$,इसलिए $1-y = -x$.
$-xS = \frac{y(y^{60}-1)}{y-1} - 60y^{61} = \frac{(1+x)((1+x)^{60}-1)}{x} - 60(1+x)^{61}$.
$x=60$ के लिए,$y=61$:
$-60S(60) = \frac{61(61^{60}-1)}{60} - 60(61)^{61}$.
$-60$ से गुणा करने पर:
$3600 S(60) = (60)^2 S(60) = 60(61)^{61} - 61(61^{60}-1) = 60(61)^{61} - 61^{61} + 61 = 59(61)^{61} + 61$.
$a(b)^b + b$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a=59$ और $b=61$ प्राप्त होता है।
अतः,$a+b = 59+61 = 120$.

यदि $S(x) = (1+x) + 2(1+x)^2 + 3(1+x)^3 + \ldots + 60(1+x)^{60}$,$x \neq 0$,और $(60)^2 S(60) = a(b)^b + b$ जहाँ $a, b \in N$,तो $(a+b)$ का मान ज्ञात कीजिए:

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