$^nC_r + 2^nC_{r-1} + ^nC_{r-2} = $

$8$ પુરુષો અને $5$ સ્ત્રીઓમાંથી $11$ સભ્યોની સમિતિ બનાવવાની છે. જો $m$ એ ઓછામાં ઓછા $6$ પુરુષો સાથે સમિતિ બનાવવાની રીતોની સંખ્યા હોય અને $n$ એ ઓછામાં ઓછી $3$ સ્ત્રીઓ સાથે સમિતિ બનાવવાની રીતોની સંખ્યા હોય,તો:

$6$ છોકરાઓ અને $4$ છોકરીઓમાંથી $7$ વ્યક્તિઓનું જૂથ કેટલી રીતે બનાવી શકાય કે જેથી છોકરાઓ બહુમતીમાં હોય?

એક પ્રશ્નપત્રમાં બે વિભાગ $A$ અને $B$ છે,જેમાં વિભાગ-$A$ માં $8$ પ્રશ્નો અને વિભાગ-$B$ માં $6$ પ્રશ્નો છે. એક વિદ્યાર્થીએ કુલ $10$ પ્રશ્નોના જવાબ આપવાના છે,જેમાં વિભાગ-$A$ માંથી ઓછામાં ઓછા $4$ પ્રશ્નો અને વિભાગ-$B$ માંથી ઓછામાં ઓછા $3$ પ્રશ્નો પસંદ કરવાના છે. તો વિદ્યાર્થી કેટલી રીતે તે પ્રશ્નપત્રના જવાબ આપી શકે?

$9$ સ્ત્રીઓ અને $8$ પુરુષોમાંથી $12$ સભ્યોની સમિતિ એવી રીતે બનાવવાની છે કે જેમાં ઓછામાં ઓછી $5$ સ્ત્રીઓ હોય. સ્ત્રીઓ બહુમતીમાં હોય તેવી સમિતિ બનાવવાની રીતોની સંખ્યા અને પુરુષો બહુમતીમાં હોય તેવી સમિતિ બનાવવાની રીતોની સંખ્યા અનુક્રમે શોધો.

જો ${ }^{12} C_{2 k-1}={ }^{12} C_{k+1}$ હોય,તો $k$ શોધો.