f(x) = begin{cases} frac{1-cos kx}{x^2}, & x | vedclass

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Question

(A) $f(x)$ के $x=0$ पर सतत होने के लिए,$	ext{L.H.L.} = 	ext{R.H.L.} = f(0)$ होना चाहिए।सबसे पहले,$x=0$ पर $	ext{L.H.L.}$ की गणना करें:$	ext{L.H.L.

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$4$

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(A) $f(x)$ के $x=0$ पर सतत होने के लिए,$	ext{L.H.L.} = 	ext{R.H.L.} = f(0)$ होना चाहिए।सबसे पहले,$x=0$ पर $	ext{L.H.L.}$ की गणना करें:$	ext{L.H.L.} = \lim_{x 	o 0^-} \frac{1-\cos kx}{x^2} = \lim_{x 	o 0^-} \frac{2\sin^2(\frac{kx}{2})}{x^2} = 2 \lim_{x 	o 0^-} \left( \frac{\sin(\frac{kx}{2})}{\frac{kx}{2}} \cdot \frac{k}{2} ight)^2 = 2 \cdot \frac{k^2}{4} = \frac{k^2}{2}$.अब,$x=0$ पर $	ext{R.H.L.}$ की गणना करें:$	ext{R.H.L.} = \lim_{x 	o 0^+} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{16+\sqrt{x}}-4}$.हर का परिमेयकरण करने पर:$	ext{R.H.L.} = \lim_{x 	o 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)}{(\sqrt{16+\sqrt{x}}-4)(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)} = \lim_{x 	o 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)}{16+\sqrt{x}-16} = \lim_{x 	o 0^+} (\sqrt{16+\sqrt{x}}+4) = \sqrt{16}+4 = 8$.चूँकि फलन $x=0$ पर सतत है,$	ext{L.H.L.} = 	ext{R.H.L.}$:$\frac{k^2}{2} = 8 \implies k^2 = 16 \implies k = \pm 4$.दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही मान $4$ है।

$f(x) = \begin{cases} \frac{1-\cos kx}{x^2}, & x \le 0 \\ \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{16+\sqrt{x}}-4}, & x > 0 \end{cases}$ $x = 0$ पर सतत है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए:

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$f(x) = \begin{cases} \frac{\log x}{x-1}, & \text{यदि } x \neq 1 \\ k, & \text{यदि } x=1 \end{cases}$ $x=1$ पर सतत है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

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