int_0^pi frac{1}{4+3 cos x} d x= | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int_0^\pi \frac{1}{4+3 \cos x} dx$ है। प्रतिस्थापन $t = 	an(\frac{x}{2})$ का उपयोग करने पर,हमें $\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ और $dx

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$\frac{\pi}{\sqrt{7}}$

Vedclass · Answer

(B) माना $I = \int_0^\pi \frac{1}{4+3 \cos x} dx$ है। प्रतिस्थापन $t = 	an(\frac{x}{2})$ का उपयोग करने पर,हमें $\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ और $dx = \frac{2}{1+t^2} dt$ प्राप्त होता है। जब $x=0$,तब $t=0$,और जब $x=\pi$,तब $t 	o \infty$। इन मानों को समाकलन में रखने पर: $I = \int_0^{\infty} \frac{1}{4+3(\frac{1-t^2}{1+t^2})} \cdot \frac{2}{1+t^2} dt$ $I = \int_0^{\infty} \frac{2}{4(1+t^2) + 3(1-t^2)} dt$ $I = \int_0^{\infty} \frac{2}{4+4t^2+3-3t^2} dt = \int_0^{\infty} \frac{2}{7+t^2} dt$ $I = 2 \int_0^{\infty} \frac{1}{(\sqrt{7})^2 + t^2} dt$ सूत्र $\int \frac{1}{a^2+x^2} dx = \frac{1}{a} 	an^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ का उपयोग करने पर: $I = 2 \left[ \frac{1}{\sqrt{7}} 	an^{-1}(\frac{t}{\sqrt{7}}) ight]_0^{\infty}$ $I = \frac{2}{\sqrt{7}} [	an^{-1}(\infty) - 	an^{-1}(0)] = \frac{2}{\sqrt{7}} [\frac{\pi}{2} - 0] = \frac{\pi}{\sqrt{7}}$।

$\int_0^\pi \frac{1}{4+3 \cos x} d x=$

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$\int_1^e \frac{1}{x} \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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