int_0^{frac{pi}{2}} frac{300 sin x+100 cos x} | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{300 \sin x + 100 \cos x}{\sin x + \cos x} dx$ है। गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग

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$100$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{300 \sin x + 100 \cos x}{\sin x + \cos x} dx$ है। गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर: $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{300 \sin(\frac{\pi}{2}-x) + 100 \cos(\frac{\pi}{2}-x)}{\sin(\frac{\pi}{2}-x) + \cos(\frac{\pi}{2}-x)} dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{300 \cos x + 100 \sin x}{\cos x + \sin x} dx$ प्राप्त होता है। $I$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर: $2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{(300 \sin x + 100 \cos x) + (300 \cos x + 100 \sin x)}{\sin x + \cos x} dx$ $2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{400 \sin x + 400 \cos x}{\sin x + \cos x} dx$ $2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} 400 dx$ $2I = 400 [x]_0^{\frac{\pi}{2}} = 400 	imes \frac{\pi}{2} = 200 \pi$ अतः, $I = 100 \pi$।

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{300 \sin x+100 \cos x}{\sin x+\cos x} \,dx = \ldots$ ($\text{$\pi$ में}$)

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$\int_0^1 {\log \sin \left( {\frac{\pi }{2}x} \right)} \,dx = $

मान लीजिए कि $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ और $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ सतत फलन हैं। तो समाकलन $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} [f(x)+f(-x)][g(x)-g(-x)] \, dx$ का मान है

$\int_{0}^{\pi /2} \frac{2^{\sin x}}{2^{\sin x} + 2^{\cos x}} dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_0^1 \frac{\log _e(1+x)}{1+x^2} d x=$

$\int_0^1 \frac{8 \log (1+x)}{1+x^2} dx =$

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