int_{-pi}^pi frac{x sin x}{1+cos ^2 x} d x= | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $f(x) = \frac{x \sin x}{1+\cos^2 x}$.$f(-x) = \frac{(-x) \sin(-x)}{1+\cos^2(-x)} = \frac{(-x)(-\sin x)}{1+\cos^2 x} = f(x)$ હોવાથી,વિધેય ય

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi^2}{2}$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $f(x) = \frac{x \sin x}{1+\cos^2 x}$.$f(-x) = \frac{(-x) \sin(-x)}{1+\cos^2(-x)} = \frac{(-x)(-\sin x)}{1+\cos^2 x} = f(x)$ હોવાથી,વિધેય યુગ્મ (even) છે.ગુણધર્મ $\int_{-a}^a f(x) dx = 2 \int_0^a f(x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,$I = 2 \int_0^\pi \frac{x \sin x}{1+\cos^2 x} dx$.ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,$I = 2 \int_0^\pi \frac{(\pi-x) \sin(\pi-x)}{1+\cos^2(\pi-x)} dx = 2 \int_0^\pi \frac{(\pi-x) \sin x}{1+\cos^2 x} dx$.બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:$2I = 2 \int_0^\pi \frac{\pi \sin x}{1+\cos^2 x} dx \Rightarrow I = \pi \int_0^\pi \frac{\sin x}{1+\cos^2 x} dx$.ધારો કે $t = \cos x$,તેથી $dt = -\sin x dx$. સીમાઓ $0$ થી $\pi$ બદલાઈને $1$ થી $-1$ થશે.$I = \pi \int_1^{-1} \frac{-dt}{1+t^2} = \pi \int_{-1}^1 \frac{dt}{1+t^2} = 2\pi \int_0^1 \frac{dt}{1+t^2}$.$I = 2\pi [	an^{-1} t]_0^1 = 2\pi (\frac{\pi}{4} - 0) = \frac{\pi^2}{2}$.

$\int_{-\pi}^\pi \frac{x \sin x}{1+\cos ^2 x} d x=$

Similar Questions

$\int_{0}^{\pi /2} \frac{\sin^{2/3} x}{\sin^{2/3} x + \cos^{2/3} x} dx$ નું મૂલ્ય શોધો.

$m, n \in \mathbb{Z}$ માટે $\int_0^{2 \pi} \cos m x \cos n x \, dx + \int_{-\pi}^\pi \sin m x \cos n x \, dx$ ની કિંમત શોધો.

જો $[a]$ એ $a$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો મહત્તમ પૂર્ણાંક દર્શાવે, તો સંકલન $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}[\sin x \cos x] dx$ નું મૂલ્ય શોધો.

નિશ્ચિત સંકલનના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને,$\int_{-5}^{5}|x+2| d x$ સંકલનનું મૂલ્ય શોધો.

$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3 \pi}{4}} \frac{d x}{1+\cos x}$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module