int_{frac{-pi}{2}}^{frac{pi}{2}} sin^{2} x , | vedclass

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Question

(C) माना $f(x) = \sin^{2} x$. चूंकि $f(-x) = [\sin(-x)]^{2} = (-\sin x)^{2} = \sin^{2} x$,अतः $f(x)$ एक सम फलन है। सम फलन के गुणधर्म $\int_{-a}^{a} f(

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$\frac{\pi}{2}$

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(C) माना $f(x) = \sin^{2} x$. चूंकि $f(-x) = [\sin(-x)]^{2} = (-\sin x)^{2} = \sin^{2} x$,अतः $f(x)$ एक सम फलन है। सम फलन के गुणधर्म $\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) \, dx$ का उपयोग करने पर: $\int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2} x \, dx = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2} x \, dx$. सर्वसमिका $\sin^{2} x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ का उपयोग करने पर: $= 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 - \cos 2x}{2} \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 - \cos 2x) \, dx$. पद-दर-पद समाकलन करने पर: $= [x - \frac{\sin 2x}{2}]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$. सीमाओं का मान रखने पर: $= (\frac{\pi}{2} - \frac{\sin \pi}{2}) - (0 - \frac{\sin 0}{2}) = (\frac{\pi}{2} - 0) - (0 - 0) = \frac{\pi}{2}$.

$\int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2} x \, dx =$

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$\int_{-1}^{3} \left[ \tan^{-1} \left( \frac{x}{x^{2}+1} \right) + \tan^{-1} \left( \frac{x^{2}+1}{x} \right) \right] dx =$

$\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{e^x(x \sin x)}{e^{2x}-1} dx =$

$\int_{-a}^{a} \sqrt{\frac{a - x}{a + x}} dx =$

मान लीजिए $f(x)$ एक फलन है जो $f(x) + f(\pi - x) = \pi^2, \forall x \in R$ को संतुष्ट करता है। तो $\int_{0}^{\pi} f(x) \sin x \, dx$ का मान $...........$ है।

समाकलन $\int_{-\pi/4}^{\pi/4} \left( \frac{32 \cos^4 x}{1 + e^{\sin x}} \right) dx$ का मान है:

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