मान लीजिए f(x) एक फलन है जो f(x) + f(pi - x) | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int_{0}^{\pi} f(x) \sin x \, dx$  $(1)$गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) \, dx = \int_{0}^{a} f(a - x) \, dx$ का उपयोग करने पर:$I = \int_{0}^{

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$\pi^2$

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(D) माना $I = \int_{0}^{\pi} f(x) \sin x \, dx$  $(1)$गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) \, dx = \int_{0}^{a} f(a - x) \, dx$ का उपयोग करने पर:$I = \int_{0}^{\pi} f(\pi - x) \sin(\pi - x) \, dx$चूंकि $\sin(\pi - x) = \sin x$,इसलिए:$I = \int_{0}^{\pi} f(\pi - x) \sin x \, dx$  $(2)$समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:$2I = \int_{0}^{\pi} [f(x) + f(\pi - x)] \sin x \, dx$दिया गया है कि $f(x) + f(\pi - x) = \pi^2$,इसलिए:$2I = \int_{0}^{\pi} \pi^2 \sin x \, dx$$2I = \pi^2 \int_{0}^{\pi} \sin x \, dx$$2I = \pi^2 [-\cos x]_{0}^{\pi}$$2I = \pi^2 [-(\cos \pi - \cos 0)]$$2I = \pi^2 [-(-1 - 1)]$$2I = \pi^2 [2]$$2I = 2\pi^2$$I = \pi^2$

मान लीजिए $f(x)$ एक फलन है जो $f(x) + f(\pi - x) = \pi^2, \forall x \in R$ को संतुष्ट करता है। तो $\int_{0}^{\pi} f(x) \sin x \, dx$ का मान $...........$ है।

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$\int_0^{\pi / 2} \frac{2 \sin (x)+3 \cos (x)}{\sin (x)+\cos (x)} d x=$

$\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{e^x(x \sin x)}{e^{2x}-1} dx =$

$\int_{0}^{\pi / 2} \log (\operatorname{cosec} x) d x$ का मान है

यदि $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{1 + \sin x + \cos x} = \ln 2$ दिया गया है,तो निश्चित समाकल $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1 + \sin x + \cos x} dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int\limits_0^\pi {\frac{{\sin \left( {n + \frac{1}{2}} \right)x}}{{\sin \frac{x}{2}}}} \,dx$,$(n \in N)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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