int_{-frac{pi}{4}}^{frac{pi}{4}} frac{e^x(x s | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{e^x(x \sin x)}{e^{2x}-1} dx$. समाकल्य $f(x) = \frac{e^x(x \sin x)}{e^{2x}-1}$ पर विचार करें।

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(A) माना $I = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{e^x(x \sin x)}{e^{2x}-1} dx$. समाकल्य $f(x) = \frac{e^x(x \sin x)}{e^{2x}-1}$ पर विचार करें। हम $f(x)$ को इस प्रकार लिख सकते हैं: $f(x) = \frac{e^x(x \sin x)}{e^x(e^x - e^{-x})} = \frac{x \sin x}{e^x - e^{-x}} = \frac{x \sin x}{2 \sinh x}$. अब,$f(-x)$ का मान ज्ञात करके जाँचें कि फलन सम है या विषम: $f(-x) = \frac{(-x) \sin(-x)}{e^{-x} - e^x} = \frac{(-x)(-\sin x)}{-(e^x - e^{-x})} = \frac{x \sin x}{-(e^x - e^{-x})} = -f(x)$. चूँकि $f(-x) = -f(x)$,इसलिए फलन $f(x)$ एक विषम फलन है। निश्चित समाकलन के गुणधर्म के अनुसार,यदि $f(x)$ एक विषम फलन है तो $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0$ होता है। अतः,$I = 0$.

$\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{e^x(x \sin x)}{e^{2x}-1} dx =$

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